Analysis Beispiele

$y = (9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ((9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 9 x^{2} - 18 x + 18$ und $g (y) = e^{x}$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) \frac{d}{d y} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) (e^{x} \frac{d}{d y} [x]) + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} \frac{d}{d y} [9 x^{2} - 18 x + 18]$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} - 18 x + 18$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (\frac{d}{d y} [9 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.4.2

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $y$ gleich $9 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (9 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 (x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.7

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' + \frac{d}{d y} [- 18 x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.8

Da $- 18$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $y$ gleich $- 18 \frac{d}{d y} [x]$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + \frac{d}{d y} [18])$

Schritt 3.10

Da $18$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $18$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x' + 0)$

Schritt 3.11

Addiere $18 x x' - 18 x'$ und $0$ .

$(9 x^{2} - 18 x + 18) e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Schritt 3.12

Vereinfache.

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Schritt 3.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(9 x^{2} e^{x} - 18 x e^{x} + 18 e^{x}) x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Schritt 3.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x' - 18 x')$

Schritt 3.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$9 x^{2} e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (18 x x') + e^{x} (- 18 x')$

Schritt 3.12.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.12.4.1

Addiere $- 18 x e^{x} x'$ und $e^{x} (18 x x')$ .

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Schritt 3.12.4.1.1

Bewege $e^{x}$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 x e^{x} x' + 18 x e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Schritt 3.12.4.1.2

Addiere $- 18 x e^{x} x'$ und $18 x e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + 0 + e^{x} (- 18 x')$

Schritt 3.12.4.2

Addiere $9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x'$ und $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' + e^{x} (- 18 x')$

Schritt 3.12.4.3

Addiere $18 e^{x} x'$ und $e^{x} (- 18 x')$ .

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Schritt 3.12.4.3.1

Stelle $e^{x}$ und $- 18$ um.

$9 x^{2} e^{x} x' + 18 e^{x} x' - 18 \cdot e^{x} x'$

Schritt 3.12.4.3.2

Subtrahiere $18 \cdot e^{x} x'$ von $18 e^{x} x'$ .

$9 x^{2} e^{x} x' + 0$

Schritt 3.12.4.4

Addiere $9 x^{2} e^{x} x'$ und $0$ .

$9 x^{2} e^{x} x'$

Schritt 3.12.5

Stelle die Faktoren von $9 x^{2} e^{x} x'$ um.

$9 e^{x} x^{2} x'$

Schritt 3.12.6

Stelle die Faktoren in $9 e^{x} x^{2} x'$ um.

$9 x^{2} e^{x} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 9 x^{2} e^{x} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ um.

$9 x^{2} e^{x} x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ durch $9 x^{2} e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x^{2} e^{x} x' = 1$ durch $9 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x^{2} e^{x} x'}{9 x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} e^{x} x'}{x^{2} e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} x'}{e^{x}} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{9 x^{2} e^{x}}$