Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x + 2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{x + 2})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $x + 2$ mit $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d y} [x + 2]$ von $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\frac{d}{d y} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$- \frac{\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{x' + \frac{d}{d y} [2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- \frac{x' + 0}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Addiere $x'$ und $0$ .

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ um.

$- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}}$ durch $1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x'}{{(x + 2)}^{2}} {(x + 2)}^{2} = - {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = - {(x + 2)}^{2}$

Schritt 5.5

Vereinfache $- {(x + 2)}^{2}$ .

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Schritt 5.5.1

Schreibe ${(x + 2)}^{2}$ als $(x + 2) (x + 2)$ um.

$x' = - ((x + 2) (x + 2))$

Schritt 5.5.2

Multipliziere $(x + 2) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = - (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

Schritt 5.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

Schritt 5.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = - (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Schritt 5.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x' = - (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

Schritt 5.5.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$x' = - (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

Schritt 5.5.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x' = - (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

Schritt 5.5.3.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$x' = - (x^{2} + 4 x + 4)$

Schritt 5.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = - x^{2} - (4 x) - 1 \cdot 4$

Schritt 5.5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 4$

Schritt 5.5.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$x' = - x^{2} - 4 x - 4$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - x^{2} - 4 x - 4$