Analysis Beispiele

$y = e^{\frac{x}{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (e^{\frac{x}{2}})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [x]$ .

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} x'$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ und $x'$ .

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x'}{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{e^{\frac{x}{2}} x'}{2}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{e^{\frac{x}{2}} x'}{2} = 1$ um.

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x'}{2} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{e^{\frac{x}{2}} x'}{2} = 2 \cdot 1$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $2 \frac{e^{\frac{x}{2}} x'}{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{e^{\frac{x}{2}} x'}{2} = 2 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x}{2}} x' = 2 \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.2

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x}{2}} x'$ um.

$x' e^{\frac{x}{2}} = 2 \cdot 1$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x' e^{\frac{x}{2}} = 2$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{\frac{x}{2}} = 2$ durch $e^{\frac{x}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' e^{\frac{x}{2}} = 2$ durch $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{x' e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{x}{2}}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' e^{\frac{x}{2}}}{e^{\frac{x}{2}}} = \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2}{e^{\frac{x}{2}}}$