Analysis Beispiele

$z = \frac{A}{y^{9}} + B e^{y}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d B} (z) = \frac{d}{d B} (\frac{A}{y^{9}} + B e^{y})$

Schritt 2

Da $z$ konstant bezüglich $B$ ist, ist die Ableitung von $z$ bezüglich $B$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{A}{y^{9}} + B e^{y}$ nach $B$ $\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$ .

$\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d B} [\frac{A}{y^{9}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $A$ konstant bezüglich $B$ ist, ist die Ableitung von $\frac{A}{y^{9}}$ nach $B$ gleich $A \frac{d}{d B} [\frac{1}{y^{9}}]$ .

$A \frac{d}{d B} [\frac{1}{y^{9}}] + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d B} [\frac{f (B)}{g (B)}]$ gleich $\frac{g (B) \frac{d}{d B} [f (B)] - f (B) \frac{d}{d B} [g (B)]}{{g (B)}^{2}}$ ist mit $f (B) = 1$ und $g (B) = y^{9}$ .

$A \frac{y^{9} \frac{d}{d B} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d B} [y^{9}]}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.3

Da $1$ konstant bezüglich $B$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $B$ gleich $0$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d B} [y^{9}]}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d B} [f (g (B))]$ ist $f' (g (B)) g' (B)$ , mit $f (B) = B^{9}$ und $g (B) = y$ .

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Schritt 3.2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $y$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.4.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y$ .

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} \frac{d}{d B} [y])}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.5

Schreibe $\frac{d}{d B} [y]$ als $y'$ um.

$A \frac{y^{9} \cdot 0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $y^{9}$ mit $0$ .

$A \frac{0 - 1 \cdot 1 (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A \frac{0 - (9 y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$A \frac{0 - 9 (y^{8} y')}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.9

Subtrahiere $9 y^{8} y'$ von $0$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{{(y^{9})}^{2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.10

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{9})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{y^{9 \cdot 2}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.10.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$A \frac{- 9 y^{8} y'}{y^{18}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{8}$ und $y^{18}$ .

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Schritt 3.2.11.1

Faktorisiere $y^{8}$ aus $- 9 y^{8} y'$ heraus.

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{18}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.11.2.1

Faktorisiere $y^{8}$ aus $y^{18}$ heraus.

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{8} y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A \frac{y^{8} (- 9 y')}{y^{8} y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A \frac{- 9 y'}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$A (- \frac{9 y'}{y^{10}}) + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.13

Kombiniere $A$ und $\frac{9 y'}{y^{10}}$ .

$- \frac{A (9 y')}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.2.14

Bringe $9$ auf die linke Seite von $A$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + \frac{d}{d B} [B e^{y}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d B} [B e^{y}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d B} [f (B) g (B)]$ gleich $f (B) \frac{d}{d B} [g (B)] + g (B) \frac{d}{d B} [f (B)]$ ist mit $f (B) = B$ und $g (B) = e^{y}$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B \frac{d}{d B} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d B} [f (g (B))]$ ist $f' (g (B)) g' (B)$ , mit $f (B) = e^{B}$ und $g (B) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $y$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{u_{2}} \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $y$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} \frac{d}{d B} [y]) + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d B} [y]$ als $y'$ um.

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d B} [B]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d B} [B^{n}]$ gleich $n B^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$- \frac{9 A y'}{y^{10}} + B e^{y} y' + e^{y}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Stelle die Terme um.

$e^{y} B y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Schritt 3.4.2

Stelle die Faktoren in $e^{y} B y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$ um.

$B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$0 = B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ um.

$B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y^{10}, 1, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{10}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ mit $y^{10}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $B e^{y} y' - \frac{9 A y'}{y^{10}} + e^{y} = 0$ mit $y^{10}$ .

$B e^{y} y' y^{10} - \frac{9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{10}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{9 A y'}{y^{10}}$ in den Zähler.

$B e^{y} y' y^{10} + \frac{- 9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$B e^{y} y' y^{10} + \frac{- 9 A y'}{y^{10}} y^{10} + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Schritt 5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$B e^{y} y' y^{10} - 9 A y' + e^{y} y^{10} = 0 y^{10}$

Schritt 5.3.2.2

Stelle die Faktoren in $B e^{y} y' y^{10} - 9 A y' + e^{y} y^{10}$ um.

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' + y^{10} e^{y} = 0 y^{10}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $y^{10}$ .

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' + y^{10} e^{y} = 0$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Subtrahiere $y^{10} e^{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B y' y^{10} e^{y} - 9 A y' = - y^{10} e^{y}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $B y' y^{10} e^{y} - 9 A y'$ heraus.

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Schritt 5.4.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $B y' y^{10} e^{y}$ heraus.

$y' (B y^{10} e^{y}) - 9 A y' = - y^{10} e^{y}$

Schritt 5.4.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 A y'$ heraus.

$y' (B y^{10} e^{y}) + y' (- 9 A) = - y^{10} e^{y}$

Schritt 5.4.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (B y^{10} e^{y}) + y' (- 9 A)$ heraus.

$y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$

Schritt 5.4.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$ durch $B y^{10} e^{y} - 9 A$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (B y^{10} e^{y} - 9 A) = - y^{10} e^{y}$ durch $B y^{10} e^{y} - 9 A$ .

$\frac{y' (B y^{10} e^{y} - 9 A)}{B y^{10} e^{y} - 9 A} = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Schritt 5.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $B y^{10} e^{y} - 9 A$ .

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Schritt 5.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (B y^{10} e^{y} - 9 A)}{B y^{10} e^{y} - 9 A} = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Schritt 5.4.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Schritt 5.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d B}$ .

$\frac{d y}{d B} = - \frac{y^{10} e^{y}}{B y^{10} e^{y} - 9 A}$