Analysis Beispiele

$y = a \cos (t) + t^{2} \sin (t)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (a \cos (t) + t^{2} \sin (t))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $t$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a \cos (t) + t^{2} \sin (t)$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [a \cos (t)] + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$ .

$\frac{d}{d t} [a \cos (t)] + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d t} [a \cos (t)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $a \cos (t)$ nach $t$ gleich $a \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$a \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$a (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d t} [t^{2} \sin (t)]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \sin (t)$ .

$a (- \sin (t)) + t^{2} \frac{d}{d t} [\sin (t)] + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\sin (t)$ nach $t$ ist $\cos (t)$ .

$a (- \sin (t)) + t^{2} \cos (t) + \sin (t) \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a (- \sin (t)) + t^{2} \cos (t) + \sin (t) (2 t)$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- a \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 2 t \sin (t)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - a \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 2 t \sin (t)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - a \sin (t) + t^{2} \cos (t) + 2 t \sin (t)$