Analysis Beispiele

${(y + x)}^{2} = \ln (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(y + x)}^{2}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(y + x)}^{2}$ als $(y + x) (y + x)$ um.

$\frac{d}{d x} [(y + x) (y + x)]$

Schritt 2.2

Multipliziere $(y + x) (y + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y (y + x) + x (y + x)]$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x (y + x)]$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [y \cdot y + y x + x y + x \cdot x]$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x \cdot x]$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + y x + x y + x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Addiere $y x$ und $x y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{d}{d x} [y^{2} + x y + x y + x^{2}]$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x y + x^{2}]$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 2 x y + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 y y' + 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.9

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y y' + 2 (x y' + y) + 2 x$

Schritt 2.13

Vereinfache.

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Schritt 2.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y y' + 2 (x y') + 2 y + 2 x$

Schritt 2.13.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 y y' + 2 x y' + 2 y + 2 x$

Schritt 2.13.3

Stelle die Terme um.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y = \frac{y'}{y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $(2 y y' + 2 x y' + 2 x + 2 y) y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y y' y + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.1.1

Bewege $y$ .

$2 (y \cdot y) y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y \cdot y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1

Bewege $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 (y \cdot y) = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$2 y^{2} y' + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.3

Bewege $y^{2}$ .

$2 y' y^{2} + 2 x y' y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.4

Bewege $x$ .

$2 y' y^{2} + 2 y' x y + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.5

Stelle $2 y' y^{2}$ und $2 y' x y$ um.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = y'$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 x y + 2 y^{2} - y' = 0$

Schritt 5.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} + 2 y^{2} - y' = - 2 x y$

Schritt 5.3.2.2

Subtrahiere $2 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y' x y + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' x y + 2 y' y^{2} - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' x y$ heraus.

$y' (2 x y) + 2 y' y^{2} - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' y^{2}$ heraus.

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) - y' = - 2 x y - 2 y^{2}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (2 x y) + y' (2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x y) + y' (2 y^{2})$ heraus.

$y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y - 2 y^{2}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 x y + 2 y^{2}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ durch $2 x y + 2 y^{2} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 x y + 2 y^{2} - 1) = - 2 x y - 2 y^{2}$ durch $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x y + 2 y^{2} - 1$ .

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Schritt 5.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 x y + 2 y^{2} - 1)}{2 x y + 2 y^{2} - 1} = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{2 x y + 2 y^{2} - 1} + \frac{- 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x y - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 x y - 2 y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.4.3.2.1

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{2 y (- x) - 2 y^{2}}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.2.2

Faktorisiere $2 y$ aus $- 2 y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{2 y (- x) + 2 y (- y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.2.3

Faktorisiere $2 y$ aus $2 y (- x) + 2 y (- y)$ heraus.

$y' = \frac{2 y (- x - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{2 y (- (x) - y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{2 y (- (x) - (y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{2 y (- (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.4.3.6.1

Schreibe $- (x + y)$ als $- 1 (x + y)$ um.

$y' = \frac{2 y (- 1 (x + y))}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 5.3.4.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(2 y) (x + y)}{2 x y + 2 y^{2} - 1}$