Analysis Beispiele

$\sqrt{x + y} + \sqrt{x - y} = 4$

Schritt 1

Schreibe die linke Seite um mit rationalen Exponenten.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + y}$ als ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + \sqrt{x - y} = 4$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - y}$ als ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} ({(x + y)}^{\frac{1}{2}} + {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (4)$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x + y)}^{\frac{1}{2}} + {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x + y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x + y$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x + y)}^{- \frac{1}{2}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2.11

Bringe ${(x + y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [{(x - y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - y$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x - y$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x - y$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 - y')$

Schritt 3.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 - y')$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 - y')$

Schritt 3.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 - y')$

Schritt 3.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 - y')$

Schritt 3.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} (1 - y')$

Schritt 3.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} (1 - y')$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (1 - y')$

Schritt 3.3.12

Bringe ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + y') + \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + (1 - y') \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$(1 + y') (\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}) + (1 - y') (\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}) = 0$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $(1 + y') \frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + (1 - y') \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere $1 + y'$ mit $\frac{1}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + (1 - y') \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.1.2

Mutltipliziere $1 - y'$ mit $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.2

Um $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.3

Um $\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1 + y'}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 + y') {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(1 + y') {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 - y') {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.4.3

Stelle die Faktoren von $2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}} {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ um.

$\frac{(1 + y') {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(1 - y') {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 + y') {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + (1 - y') {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + (1 - y') {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.6.2

Mutltipliziere ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + (1 - y') {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.1.6.4

Mutltipliziere ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + y)}^{\frac{1}{2}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 6.2

Setze den Zähler gleich Null.

${(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung nach $y'$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.1.1

Subtrahiere ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}} - y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.2

Subtrahiere ${(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}} = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y' {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 1 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' (- 1 {(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}} - 1 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3

Schreibe $- 1 {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ als $- {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ um.

$y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.4

Teile jeden Ausdruck in $y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ durch ${(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}) = - {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ durch ${(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y' ({(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{- {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.3.4.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- {(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 6.3.4.3.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{- ({(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- {(x + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' = \frac{- ({(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - ({(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- ({(x - y)}^{\frac{1}{2}}) - ({(x + y)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$y' = \frac{- ({(x - y)}^{\frac{1}{2}} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}})}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} + {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}} - {(x + y)}^{\frac{1}{2}}}$