Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{7} {(- 1)}^{k} \cdot 2^{k + 1}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 2^{k + 1 + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 2^{k + 1}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 1)}^{k + 1}$ und ${(- 1)}^{k}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k}$ aus ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 2^{k + 1 + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 2^{k + 1 + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 2^{k + 1}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Faktorisiere ${(- 1)}^{k}$ aus ${(- 1)}^{k} \cdot 2^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 2^{k + 1 + 1})}{{(- 1)}^{k} (2^{k + 1})}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 2^{k + 1 + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 2^{k + 1}}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 2^{k + 1 + 1}}{2^{k + 1}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{k + 1 + 1}$ und $2^{k + 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2^{k + 1}$ aus $- 2^{k + 1 + 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{k + 1} (- 2^{k + 2 - (k + 1)})}{2^{k + 1}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{k + 1} (- 2^{k + 2 - (k + 1)})}{2^{k + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{k + 1} (- 2^{k + 2 - (k + 1)})}{2^{k + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 2^{k + 2 - (k + 1)}}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $- 2^{k + 2 - (k + 1)}$ durch $1$ .

$r = - 2^{k + 2 - (k + 1)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = - 2^{k + 2 - k - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = - 2^{k + 2 - k - 1}$

Schritt 2.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $k + 2 - k - 1$ .

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Schritt 2.2.4.1

Subtrahiere $k$ von $k$ .

$r = - 2^{0 + 2 - 1}$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $0$ und $2$ .

$r = - 2^{2 - 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$r = - 2^{1}$

Schritt 2.2.6

Berechne den Exponenten.

$r = - 1 \cdot 2$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$r = - 2$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $k$ in ${(- 1)}^{k} \cdot 2^{k + 1}$ ein.

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 2^{1 + 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Berechne den Exponenten.

$a = - 1 \cdot 2^{1 + 1}$

Schritt 3.2.2

Addiere $1$ und $1$ .

$a = - 1 \cdot 2^{2}$

Schritt 3.2.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a = - 1 \cdot 4$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$a = - 4$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 4 \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - - 2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $7$ .

$- 4 \frac{1 - - 128}{1 - - 2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 128$ .

$- 4 \frac{1 + 128}{1 - - 2}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $128$ .

$- 4 \frac{129}{1 - - 2}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$- 4 \frac{129}{1 + 2}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$- 4 (\frac{129}{3})$

Schritt 5.3

Dividiere $129$ durch $3$ .

$- 4 \cdot 43$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $43$ .

$- 172$