Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{3} \frac{1}{k^{2} + 4}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1^{2} + 4}$ mit $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{1}{1^{2} + 4} \cdot \frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1^{2} + 4}$ mit $\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2^{2} + 4}$ mit $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{2^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2^{2} + 4}$ mit $\frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3^{2} + 4}$ mit $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{1}{3^{2} + 4} \cdot \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{3^{2} + 4}$ mit $\frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}$ .

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $(1^{2} + 4) ((2^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ um.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Schritt 2.1.8

Stelle die Faktoren von $(2^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (3^{2} + 4))$ um.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))}$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $(3^{2} + 4) ((1^{2} + 4) (2^{2} + 4))$ um.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (3^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)} + \frac{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(2^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(4 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{8 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{8 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.4

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{8 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $8$ mit $13$ .

$\frac{104 + (1^{2} + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{104 + (1 + 4) (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.7

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{104 + 5 (3^{2} + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{104 + 5 (9 + 4) + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.9

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{104 + 5 \cdot 13 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $5$ mit $13$ .

$\frac{104 + 65 + (1^{2} + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{104 + 65 + (1 + 4) (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.12

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (2^{2} + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.13

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{104 + 65 + 5 (4 + 4)}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.14

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{104 + 65 + 5 \cdot 8}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{104 + 65 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.4

Addiere $104$ und $65$ .

$\frac{169 + 40}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.5

Addiere $169$ und $40$ .

$\frac{209}{(1^{2} + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{209}{(1 + 4) (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.6.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{209}{5 (2^{2} + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.6.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{209}{5 (4 + 4) (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.6.4

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{209}{5 \cdot 8 (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $5$ mit $8$ .

$\frac{209}{40 (3^{2} + 4)}$

Schritt 2.6.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{209}{40 (9 + 4)}$

Schritt 2.6.7

Addiere $9$ und $4$ .

$\frac{209}{40 \cdot 13}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $40$ mit $13$ .

$\frac{209}{520}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{209}{520}$

Dezimalform:

$0.40192307 \dots$