Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{3} {(\frac{1}{2})}^{k + 1}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

${(\frac{1}{2})}^{1 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Addiere $1$ und $1$ .

${(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{2 + 1} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.5

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{1}{4} + {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{4} + \frac{1^{3}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{3 + 1}$

Schritt 2.1.9

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + {(\frac{1}{2})}^{4}$

Schritt 2.1.10

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1^{4}}{2^{4}}$

Schritt 2.1.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{4}}$

Schritt 2.1.12

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{8}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4}{16} + \frac{2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.6

Stelle die Faktoren von $8 \cdot 2$ um.

$\frac{4}{16} + \frac{2}{2 \cdot 8} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 + 2 + 1}{16}$

Schritt 2.4

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{6 + 1}{16}$

Schritt 2.5

Addiere $6$ und $1$ .

$\frac{7}{16}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{7}{16}$

Dezimalform:

$0.4375$