Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{7} 36 - 2^{k}$

Schritt 1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{7} 36 - 2^{k} = \sum_{k = 1}^{7} 36 + \sum_{k = 1}^{7} - 2^{k}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{7} 36$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(36) (7)$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $36$ mit $7$ .

$252$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{7} - 2^{k}$ .

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Schritt 3.1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 3.2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{- 2^{k + 1}}{- 2^{k}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$r = \frac{2^{k + 1}}{2^{k}}$

Schritt 3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{k + 1}$ und $2^{k}$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Faktorisiere $2^{k}$ aus $2^{k + 1}$ heraus.

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k}}$

Schritt 3.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{2^{k} \cdot 2}{2^{k} \cdot 1}$

Schritt 3.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{2}{1}$

Schritt 3.2.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$r = 2$

Schritt 3.3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.3.1

Setze $1$ für $k$ in $- 2^{k}$ ein.

$a = - 2^{1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.3.2.1

Berechne den Exponenten.

$a = - 1 \cdot 2$

Schritt 3.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$a = - 2$

Schritt 3.4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 2 \frac{1 - 2^{7}}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $2$ mit $7$ .

$- 2 \frac{1 - 1 \cdot 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $128$ .

$- 2 \frac{1 - 128}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $128$ von $1$ .

$- 2 \frac{- 127}{1 - 1 \cdot 2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{- 127}{1 - 2}$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- 2 (\frac{- 127}{- 1})$

Schritt 3.5.3

Dividiere $- 127$ durch $- 1$ .

$- 2 \cdot 127$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $127$ .

$- 254$

Schritt 4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$252 - 254$

Schritt 5

Subtrahiere $254$ von $252$ .

$- 2$