Analysis Beispiele

$\sum_{k = 5}^{20} k^{3}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 5}^{20} k^{3} = \sum_{k = 1}^{20} k^{3} - \sum_{k = 1}^{4} k^{3}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{20} k^{3}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{20^{2} {(20 + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $20$ und $1$ .

$\frac{20^{2} \cdot 21^{2}}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $20$ mit $2$ .

$\frac{400 \cdot 21^{2}}{4}$

Schritt 2.3.1.3

Potenziere $21$ mit $2$ .

$\frac{400 \cdot 441}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $400$ mit $441$ .

$\frac{176400}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $176400$ durch $4$ .

$44100$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{4} k^{3}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 + 8 + 3^{3} + 4^{3}$

Schritt 3.2.3

Addiere $1$ und $8$ .

$9 + 3^{3} + 4^{3}$

Schritt 3.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$9 + 27 + 4^{3}$

Schritt 3.2.5

Addiere $9$ und $27$ .

$36 + 4^{3}$

Schritt 3.2.6

Potenziere $4$ mit $3$ .

$36 + 64$

Schritt 3.2.7

Addiere $36$ und $64$ .

$100$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$44100 - 100$

Schritt 5

Subtrahiere $100$ von $44100$ .

$44000$