Analysis Beispiele

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5 - 2 k}{8}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 5}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} - \sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} - \frac{k}{4} = \sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8} + \sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$

Schritt 2.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{13} \frac{5}{8}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{5}{8}) (13)$

Schritt 2.2.3

Multipliziere $(\frac{5}{8}) (13)$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kombiniere $\frac{5}{8}$ und $13$ .

$\frac{5 \cdot 13}{8}$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $13$ .

$\frac{65}{8}$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{13} - \frac{k}{4}$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- \frac{1}{4}$ aus der Summe raus.

$(- \frac{1}{4}) \sum_{k = 1}^{13} k$

Schritt 2.3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 2.3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- \frac{1}{4}) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.1.1

Addiere $13$ und $1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{13 \cdot 14}{2}$

Schritt 2.3.4.1.2

Mutltipliziere $13$ mit $14$ .

$- \frac{1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Schritt 2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{4}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{4} \cdot \frac{182}{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{- 1}{2 (2)} \cdot \frac{182}{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Faktorisiere $2$ aus $182$ heraus.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Schritt 2.3.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 91}{2}$

Schritt 2.3.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{91}{2}$

Schritt 2.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{- 1}{2}$ mit $\frac{91}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 91}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $91$ .

$\frac{- 91}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.4.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 91}{4}$

Schritt 2.3.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{91}{4}$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Um $- \frac{91}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 2.5.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{91}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{4 \cdot 2}$

Schritt 2.5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{65}{8} - \frac{91 \cdot 2}{8}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{65 - 91 \cdot 2}{8}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $- 91$ mit $2$ .

$\frac{65 - 182}{8}$

Schritt 2.5.4.2

Subtrahiere $182$ von $65$ .

$\frac{- 117}{8}$

Schritt 2.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{117}{8}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{4} \frac{5}{8} - \frac{k}{4}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$\frac{5}{8} - \frac{1}{4} + \frac{5}{8} - \frac{2}{4} + \frac{5}{8} - \frac{3}{4} + \frac{5}{8} - \frac{4}{4}$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 + 5 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Schritt 3.2.2

Addiere $5$ und $5$ .

$\frac{10 + 5 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Schritt 3.2.3

Addiere $10$ und $5$ .

$\frac{15 + 5}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Schritt 3.2.4

Addiere $15$ und $5$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 1 - 2 - 3 - 4}{4}$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 3 - 3 - 4}{4}$

Schritt 3.2.6

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 6 - 4}{4}$

Schritt 3.2.7

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$\frac{20}{8} + \frac{- 10}{4}$

Schritt 3.2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $8$ .

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Schritt 3.2.8.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$\frac{4 (5)}{8} + \frac{- 10}{4}$

Schritt 3.2.8.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.8.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Schritt 3.2.8.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 2} + \frac{- 10}{4}$

Schritt 3.2.8.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2} + \frac{- 10}{4}$

Schritt 3.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $4$ .

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Schritt 3.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{5}{2} + \frac{2 (- 5)}{4}$

Schritt 3.2.8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{2} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2.8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2} + \frac{- 5}{2}$

Schritt 3.2.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{2} - \frac{5}{2}$

Schritt 3.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 5}{2}$

Schritt 3.2.10

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 3.2.11

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- \frac{117}{8} - 0$

Schritt 5

Subtrahiere $0$ von $- \frac{117}{8}$ .

$- \frac{117}{8}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{117}{8}$

Dezimalform:

$- 14.625$

Darstellung als gemischte Zahl:

$- 14 \frac{5}{8}$