Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{4 n^{2} - 1}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $4 n^{2}$ als ${(2 n)}^{2}$ um.

$\frac{1}{{(2 n)}^{2} - 1}$

Schritt 1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1}{{(2 n)}^{2} - 1^{2}}$

Schritt 1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 n$ und $b = 1$ .

$\frac{1}{(2 n + 1) (2 n - 1)}$

Schritt 2

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(2 n + 1) (2 n - 1)}$