Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{n + 1}{n + 4}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$\frac{1 + 1}{1 + 4} + \frac{2 + 1}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{2 + 1}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Schritt 2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{3 + 1}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Schritt 2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{4 + 1}{4 + 4}$

Schritt 2.4

Addiere $4$ und $1$ .

$\frac{2}{1 + 4} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3}{2 + 4} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{3}{6} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{2}{5} + \frac{3 (1)}{6} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{5} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{3 + 4} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5.4

Addiere $3$ und $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{4 + 4}$

Schritt 2.5.5

Addiere $4$ und $4$ .

$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Schritt 2.6

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{56}{56}$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{56}{56} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{2}{5}$ mit $\frac{56}{56}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{1}{2} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Schritt 2.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{140}{140}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{1}{2} \cdot \frac{140}{140} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{140}{140}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4}{7} + \frac{5}{8}$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $\frac{4}{7}$ mit $\frac{40}{40}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4}{7} \cdot \frac{40}{40} + \frac{5}{8}$

Schritt 2.6.6

Mutltipliziere $\frac{4}{7}$ mit $\frac{40}{40}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5}{8}$

Schritt 2.6.7

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $\frac{35}{35}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5}{8} \cdot \frac{35}{35}$

Schritt 2.6.8

Mutltipliziere $\frac{5}{8}$ mit $\frac{35}{35}$ .

$\frac{2 \cdot 56}{5 \cdot 56} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Schritt 2.6.9

Mutltipliziere $5$ mit $56$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{2 \cdot 140} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Schritt 2.6.10

Mutltipliziere $2$ mit $140$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{7 \cdot 40} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Schritt 2.6.11

Mutltipliziere $7$ mit $40$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{280} + \frac{5 \cdot 35}{8 \cdot 35}$

Schritt 2.6.12

Mutltipliziere $8$ mit $35$ .

$\frac{2 \cdot 56}{280} + \frac{140}{280} + \frac{4 \cdot 40}{280} + \frac{5 \cdot 35}{280}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 \cdot 56 + 140 + 4 \cdot 40 + 5 \cdot 35}{280}$

Schritt 2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $56$ .

$\frac{112 + 140 + 4 \cdot 40 + 5 \cdot 35}{280}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $40$ .

$\frac{112 + 140 + 160 + 5 \cdot 35}{280}$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere $5$ mit $35$ .

$\frac{112 + 140 + 160 + 175}{280}$

Schritt 2.9

Addiere $112$ und $140$ .

$\frac{252 + 160 + 175}{280}$

Schritt 2.10

Addiere $252$ und $160$ .

$\frac{412 + 175}{280}$

Schritt 2.11

Addiere $412$ und $175$ .

$\frac{587}{280}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{587}{280}$

Dezimalform:

$2.09642857 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$2 \frac{27}{280}$