Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} n^{- 2} (12)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{n^{2}} \cdot 12$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{n^{2}}$ und $12$ .

$\frac{12}{n^{2}}$

Schritt 1.3

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{12}{n^{2}}$

Schritt 2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$\frac{12}{1^{2}} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{12}{1} + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.2

Dividiere $12$ durch $1$ .

$12 + \frac{12}{2^{2}} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$12 + \frac{12}{4} + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.4

Dividiere $12$ durch $4$ .

$12 + 3 + \frac{12}{3^{2}} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$12 + 3 + \frac{12}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $9$ .

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Schritt 3.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$12 + 3 + \frac{3 (4)}{9} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + 3 + \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{4^{2}}$

Schritt 3.1.7

Potenziere $4$ mit $2$ .

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{12}{16}$

Schritt 3.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $16$ .

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Schritt 3.1.8.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 (3)}{16}$

Schritt 3.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $12$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{12}{1} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $\frac{12}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12}{1} \cdot \frac{12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $\frac{12}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + 3 + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.4

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{12}{12}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Schritt 3.2.9

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $\frac{3}{4}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.2.11

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Schritt 3.2.12

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 3$ um.

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 4}$

Schritt 3.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 \cdot 12}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} + \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{12 \cdot 12 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $12$ mit $12$ .

$\frac{144 + 3 \cdot 12 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$\frac{144 + 36 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 3 \cdot 3}{12}$

Schritt 3.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{144 + 36 + 16 + 9}{12}$

Schritt 3.5

Addiere $144$ und $36$ .

$\frac{180 + 16 + 9}{12}$

Schritt 3.6

Addiere $180$ und $16$ .

$\frac{196 + 9}{12}$

Schritt 3.7

Addiere $196$ und $9$ .

$\frac{205}{12}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{205}{12}$

Dezimalform:

$17.08\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$17 \frac{1}{12}$