Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} {(a - n)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(a - n)}^{2}$ als $(a - n) (a - n)$ um.

$(a - n) (a - n)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(a - n) (a - n)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a (a - n) - n (a - n)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a (- n) - n (a - n)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a \cdot a + a (- n) - n a - n (- n)$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$a^{2} + a (- n) - n a - n (- n)$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} - a n - n a - n (- n)$

Schritt 1.3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n \cdot n$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $n$ mit $n$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.4.1

Bewege $n$ .

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 (n \cdot n)$

Schritt 1.3.1.4.2

Mutltipliziere $n$ mit $n$ .

$a^{2} - a n - n a - 1 \cdot - 1 n^{2}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$a^{2} - a n - n a + 1 n^{2}$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $n^{2}$ mit $1$ .

$a^{2} - a n - n a + n^{2}$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $n a$ von $- a n$ .

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Schritt 1.3.2.1

Bewege $n$ .

$a^{2} - a n - 1 a n + n^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $a n$ von $- a n$ .

$a^{2} - 2 a n + n^{2}$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{n = 1}^{4} a^{2} - 2 a n + n^{2}$

Schritt 2

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 3

Rücksubstituiere die Werte und vereinfache $a^{2} - 2 a \cdot 1 + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$ .

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$a^{2} - 2 a + 1^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 2 a \cdot 2 + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 2^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 3.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 2 a \cdot 3 + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 3^{2} + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 3.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 2 a \cdot 4 + 4^{2}$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 4^{2}$

Schritt 3.1.8

Potenziere $4$ mit $2$ .

$a^{2} - 2 a + 1 + a^{2} - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Schritt 3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.1

Addiere $a^{2}$ und $a^{2}$ .

$2 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 + a^{2} - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Schritt 3.2.2

Addiere $2 a^{2}$ und $a^{2}$ .

$3 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 + a^{2} - 8 a + 16$

Schritt 3.2.3

Addiere $3 a^{2}$ und $a^{2}$ .

$4 a^{2} - 2 a + 1 - 4 a + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

Schritt 3.2.4

Subtrahiere $4 a$ von $- 2 a$ .

$4 a^{2} - 6 a + 1 + 4 - 6 a + 9 - 8 a + 16$

Schritt 3.2.5

Subtrahiere $6 a$ von $- 6 a$ .

$4 a^{2} - 12 a + 1 + 4 + 9 - 8 a + 16$

Schritt 3.2.6

Subtrahiere $8 a$ von $- 12 a$ .

$4 a^{2} - 20 a + 1 + 4 + 9 + 16$

Schritt 3.2.7

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 3.2.7.1

Addiere $1$ und $4$ .

$4 a^{2} - 20 a + 5 + 9 + 16$

Schritt 3.2.7.2

Addiere $5$ und $9$ .

$4 a^{2} - 20 a + 14 + 16$

Schritt 3.2.7.3

Addiere $14$ und $16$ .

$4 a^{2} - 20 a + 30$