Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} \frac{5 n}{n + 3}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$\frac{5 \cdot 1}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{5 \cdot 2}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{5 \cdot 3}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{5 \cdot 4}{4 + 3}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{5}{1 + 3} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.1

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{2 + 3} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.2

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{10}{5} + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.3

Dividiere $10$ durch $5$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{15}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3 + 3$ .

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Schritt 2.5.4.1

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 (1) + 3} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.4.2.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.4.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1 + 3 \cdot 1$ heraus.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot (1 + 1)} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.4.2.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{1 + 1} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{4 + 3}$

Schritt 2.5.6

Addiere $4$ und $3$ .

$\frac{5}{4} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{7}{7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{7}{7}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + 2 + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6.3

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6.4

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2}{1} \cdot \frac{28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{28}{28}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6.6

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5}{2} \cdot \frac{14}{14} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6.7

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{14}{14}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7}$

Schritt 2.6.8

Mutltipliziere $\frac{20}{7}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20}{7} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 2.6.9

Mutltipliziere $\frac{20}{7}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Schritt 2.6.10

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{2 \cdot 14} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Schritt 2.6.11

Mutltipliziere $2$ mit $14$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{7 \cdot 4}$

Schritt 2.6.12

Stelle die Faktoren von $7 \cdot 4$ um.

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{4 \cdot 7}$

Schritt 2.6.13

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$\frac{5 \cdot 7}{28} + \frac{2 \cdot 28}{28} + \frac{5 \cdot 14}{28} + \frac{20 \cdot 4}{28}$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cdot 7 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Schritt 2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $5$ mit $7$ .

$\frac{35 + 2 \cdot 28 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $28$ .

$\frac{35 + 56 + 5 \cdot 14 + 20 \cdot 4}{28}$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere $5$ mit $14$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 20 \cdot 4}{28}$

Schritt 2.8.4

Mutltipliziere $20$ mit $4$ .

$\frac{35 + 56 + 70 + 80}{28}$

Schritt 2.9

Addiere $35$ und $56$ .

$\frac{91 + 70 + 80}{28}$

Schritt 2.10

Addiere $91$ und $70$ .

$\frac{161 + 80}{28}$

Schritt 2.11

Addiere $161$ und $80$ .

$\frac{241}{28}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{241}{28}$

Dezimalform:

$8.60714285 \dots$

Darstellung als gemischte Zahl:

$8 \frac{17}{28}$