Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + x + 3}$

Schritt 1

Ermittle den Definitionsbereich, um festzustellen, ob der Ausdruck stetig ist.

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Schritt 1.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} + x + 3}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + x + 3 = 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{11}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 1.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{11})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 1.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $12$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $- 11$ als $- 1 (11)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (11)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{11}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 1.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{11})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{11})}{2}$

Schritt 1.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{11}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{11}}{2}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 2

Da der Definitionsbereich alle reellen Zahlen umfasst, ist $\frac{x}{x^{2} + x + 3}$ für alle reellen Zahlen stetig.

Stetig

Schritt 3