Analysis Beispiele

$\frac{\sqrt{t}}{4 t - 3}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{4 t - 3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 4 t - 3$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(4 t - 3) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 8.3

Bringe $t^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [4 t - 3]}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 10

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + \frac{d}{d t} [- 3])}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 13

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (4 + 0)}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 14

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 14.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{(4 t - 3) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 t$ heraus.

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.3

Kombiniere $t$ und $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t \cdot 2}{t^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.4

Bringe $t^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot 2 t^{- \frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5

Multipliziere $t$ mit $t^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.1.5.1

Bewege $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5.2

Mutltipliziere $t^{- \frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 15.2.1.5.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.5.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - 3 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.7

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 4 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $4 t^{\frac{1}{2}}$ von $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

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Schritt 15.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 t^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ heraus.

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 t^{\frac{1}{2}}) - (\frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ heraus.

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.2

Um $2 t^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (2 t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.3

Kombiniere $2 t^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{2 t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.3.5.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5.2

Multipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.3.5.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{1 + 1}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{\frac{2}{2}} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t^{1} + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5.3

Vereinfache $2 \cdot 2 t^{1}$ .

$\frac{- \frac{2 \cdot 2 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.3.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$

Schritt 15.5

Mutltipliziere $\frac{1}{{(4 t - 3)}^{2}}$ mit $\frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{4 t + 3}{{(4 t - 3)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 15.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(4 t - 3)}^{2}$ .

$- \frac{4 t + 3}{2 \cdot {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15.7

Stelle die Faktoren in $- \frac{4 t + 3}{2 {(4 t - 3)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ um.

$- \frac{4 t + 3}{2 t^{\frac{1}{2}} {(4 t - 3)}^{2}}$