Analysis Beispiele

$(45 + e^{t}) \ln (t)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = 45 + e^{t}$ und $g (t) = \ln (t)$ .

$(45 + e^{t}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\ln (t)$ nach $t$ ist $\frac{1}{t}$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [45 + e^{t}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $45 + e^{t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (\frac{d}{d t} [45] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Schritt 3.2

Da $45$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $45$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) (0 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{d}{d t} [e^{t}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ gleich $a^{t} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(45 + e^{t}) \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$45 \frac{1}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Schritt 5.2

Vereine die Terme

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $45$ und $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + e^{t} \frac{1}{t} + \ln (t) e^{t}$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $e^{t}$ und $\frac{1}{t}$ .

$\frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t} + \ln (t) e^{t}$

Schritt 5.3

Stelle die Terme um.

$e^{t} \ln (t) + \frac{45}{t} + \frac{e^{t}}{t}$