Analysis Beispiele

${(x - y)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$\frac{d}{d y} [(x - y) (x - y)]$

Schritt 2

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d y} [x (x - y) - y (x - y)]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y (x - y)]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d y} [x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)]$

Schritt 3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - y (- y)]$

Schritt 3.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y]$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.4.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)]$

Schritt 3.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - y x + y^{2}]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 3.2.1

Bewege $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} - 2 x y + y^{2}]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2 x y + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 5

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 6

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- 2 x y]$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 x y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 7

Da $- 2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x y$ nach $y$ gleich $- 2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x + 2 y$