Analysis Beispiele

$X^{3} - 34 X - 12 = 0$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(6)}^{3} - 34 \cdot 6 - 12$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $X = 6$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $6$ mit $3$ .

$216 - 34 \cdot 6 - 12$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 34$ mit $6$ .

$216 - 204 - 12$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $204$ von $216$ .

$12 - 12$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 5

Da $6$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $X - 6$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{X^{3} - 34 X - 12}{X - 6}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$
		$6$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$
		$6$
	$1$	$6$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(6)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 34)$ .

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$
		$6$	$36$
	$1$	$6$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$
		$6$	$36$
	$1$	$6$	$2$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(6)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$
		$6$	$36$	$12$
	$1$	$6$	$2$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$6$	$1$	$0$	$- 34$	$- 12$
		$6$	$36$	$12$
	$1$	$6$	$2$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 X^{2} + 6 X + 2$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$X^{2} + 6 X + 2$

Schritt 7

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 7.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 7.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $X$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 7.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 7.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$X = - 3 \pm \sqrt{7}$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 7.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 7.4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$X = - 3 \pm \sqrt{7}$

Schritt 7.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$X = - 3 + \sqrt{7}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 7.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 7.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 7.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$X = - 3 \pm \sqrt{7}$

Schritt 7.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$X = - 3 - \sqrt{7}$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$X = - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Schritt 8

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(X - 6) (X + 3 - \sqrt{7}) (X + 3 + \sqrt{7})$

Schritt 9

Das sind die Wurzeln des Polynoms $X^{3} - 34 X - 12$ .

$X = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Schritt 10

Faktorisiere $X^{3} - 34 X - 12$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 10.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 10.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 10.3

Setze $6$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $6$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.3.1

Setze $6$ in das Polynom ein.

$6^{3} - 34 \cdot 6 - 12$

Schritt 10.3.2

Potenziere $6$ mit $3$ .

$216 - 34 \cdot 6 - 12$

Schritt 10.3.3

Mutltipliziere $- 34$ mit $6$ .

$216 - 204 - 12$

Schritt 10.3.4

Subtrahiere $204$ von $216$ .

$12 - 12$

Schritt 10.3.5

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$0$

Schritt 10.4

Da $6$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $X - 6$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{X^{3} - 34 X - 12}{X - 6}$

Schritt 10.5

Dividiere $X^{3} - 34 X - 12$ durch $X - 6$ .

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Schritt 10.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$X$

$6$

$X^{3}$

$0 X^{2}$

$34 X$

$12$

Schritt 10.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $X^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $X$ .

					$X^{2}$
	$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$

Schritt 10.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$X^{2}$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			+	$X^{3}$	-	$6 X^{2}$

Schritt 10.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $X^{3} - 6 X^{2}$

				$X^{2}$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$

Schritt 10.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$X^{2}$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$

Schritt 10.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$X^{2}$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$

Schritt 10.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $6 X^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $X$ .

				$X^{2}$	+	$6 X$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$

Schritt 10.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$X^{2}$	+	$6 X$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					+	$6 X^{2}$	-	$36 X$

Schritt 10.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $6 X^{2} - 36 X$

				$X^{2}$	+	$6 X$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					-	$6 X^{2}$	+	$36 X$

Schritt 10.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$X^{2}$	+	$6 X$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					-	$6 X^{2}$	+	$36 X$
							+	$2 X$

Schritt 10.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$X^{2}$	+	$6 X$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					-	$6 X^{2}$	+	$36 X$
							+	$2 X$	-	$12$

Schritt 10.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 X$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $X$ .

				$X^{2}$	+	$6 X$	+	$2$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					-	$6 X^{2}$	+	$36 X$
							+	$2 X$	-	$12$

Schritt 10.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$X^{2}$	+	$6 X$	+	$2$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					-	$6 X^{2}$	+	$36 X$
							+	$2 X$	-	$12$
							+	$2 X$	-	$12$

Schritt 10.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 X - 12$

				$X^{2}$	+	$6 X$	+	$2$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					-	$6 X^{2}$	+	$36 X$
							+	$2 X$	-	$12$
							-	$2 X$	+	$12$

Schritt 10.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$X^{2}$	+	$6 X$	+	$2$
$X$	-	$6$		$X^{3}$	+	$0 X^{2}$	-	$34 X$	-	$12$
			-	$X^{3}$	+	$6 X^{2}$
					+	$6 X^{2}$	-	$34 X$
					-	$6 X^{2}$	+	$36 X$
							+	$2 X$	-	$12$
							-	$2 X$	+	$12$
										$0$

Schritt 10.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$X^{2} + 6 X + 2$

Schritt 10.6

Schreibe $X^{3} - 34 X - 12$ als eine Menge von Faktoren.

$(X - 6) (X^{2} + 6 X + 2) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$X - 6 = 0$

$X^{2} + 6 X + 2 = 0$

Schritt 12

Setze $X - 6$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $X - 6$ gleich $0$ .

$X - 6 = 0$

Schritt 12.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$X = 6$

Schritt 13

Setze $X^{2} + 6 X + 2$ gleich $0$ und löse nach $X$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $X^{2} + 6 X + 2$ gleich $0$ .

$X^{2} + 6 X + 2 = 0$

Schritt 13.2

Löse $X^{2} + 6 X + 2 = 0$ nach $X$ auf.

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Schritt 13.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 13.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 6$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $X$ auf.

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3

Vereinfache.

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Schritt 13.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.3.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 13.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 13.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 13.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$X = - 3 \pm \sqrt{7}$

Schritt 13.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 13.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.4.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 13.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 13.2.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 13.2.4.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$X = - 3 \pm \sqrt{7}$

Schritt 13.2.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$X = - 3 + \sqrt{7}$

Schritt 13.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 13.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.2.5.1.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Schritt 13.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $36$ .

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 13.2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$X = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 13.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$X = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 13.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$X = - 3 \pm \sqrt{7}$

Schritt 13.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$X = - 3 - \sqrt{7}$

Schritt 13.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$X = - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Schritt 14

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(X - 6) (X^{2} + 6 X + 2) = 0$ wahr machen.

$X = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$X = 6, - 3 + \sqrt{7}, - 3 - \sqrt{7}$

Dezimalform:

$X = 6, - 0.35424868 \dots, - 5.64575131 \dots$

Schritt 16