Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Schreibe $y = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 4 x + 1$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x + 1) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4 + 0) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.7

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - (x^{2} - 4 x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.2.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 (x^{2} - 4 x + 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) + (- 2 x^{2} - 2 (- 4 x) - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.1

Multipliziere $(x^{2} + 1) (2 x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x - 4) + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x - 4) - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.3

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 \cdot x^{2} + 1 (2 x) + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.4

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1 \cdot - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{2} x - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.3.3.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{1 + 2} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x) x - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.3.3.1.4.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 (x \cdot x)) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} - 2 (- 4 x^{2}) - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 \cdot (1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 4 - 2 x^{3} + 8 x^{2} - 2 x$ .

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Schritt 2.1.3.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 0 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2.2

Addiere $- 4 x^{2} + 2 x - 4$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x - 4 + 8 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2.3

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2} + 0}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.2.4

Addiere $- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} - 4 + 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.3.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} - 4$ heraus.

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Schritt 2.1.3.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) - 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 (x^{2}) + 4 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x^{2}) + 4 (- 1)$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$f' (x) = \frac{4 (x^{2} - 1^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.1.3.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$f' (x) = \frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{(x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

Schritt 2.2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

Schritt 2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} ((x + 1) (x - 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x + 1$ und $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5

Differenziere.

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Schritt 2.2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.5.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.4.2

Mutltipliziere $x + 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) (1 + 0)) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.5.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + (x - 1) \cdot 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.8.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1 + x - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.8.3

Addiere $x$ und $x$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 1 - 1) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.5.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.8.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.5.8.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x) - (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - (x + 1) (x - 1) (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.2.7.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7.5.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.7.5.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x + 1) (x - 1) (2 \cdot ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

Schritt 2.2.7.5.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x - 4 (x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) ((x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x + (- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 {(x^{2} + 1)}^{2} x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.8.4.1.1

Schreibe ${(x^{2} + 1)}^{2}$ als $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{4 (2 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.2

Multipliziere $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.3.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.3.1.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.3.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.3.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.3.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 ((2 x^{4} + 4 x^{2} + 2) x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{4} x + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.7.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.7.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.7.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{2} x + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.7.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.7.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.7.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5} + 4 x^{3} + 2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.8

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{4 (2 x^{5}) + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.9.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 4 (4 x^{3}) + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 4 (2 x) + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.9.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4 \cdot 1) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.10

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x - 4) (x - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.11

Multipliziere $(- 4 x - 4) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x (x - 1) - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 (x - 1)) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x \cdot x - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.12.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.12.1.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.12.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} - 4 x \cdot - 1 - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.12.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 1) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.12.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4 x - 4 x + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.12.2

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 0 + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.12.3

Addiere $- 4 x^{2}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.8.4.1.13.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.13.1.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.8.4.1.13.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.13.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.13.1.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.13.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 ((- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.14

Multipliziere $(- 4 x^{2} + 4) (x^{3} + x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.8.4.1.14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} (x^{3} + x) + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.14.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 (x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.14.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.2.8.4.1.15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.8.4.1.15.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.8.4.1.15.1.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.1.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{2} x + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.8.4.1.15.1.2.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.8.4.1.15.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.2

Addiere $- 4 x^{3}$ und $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 0 + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.15.3

Addiere $- 4 x^{5}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5} + 4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.16

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 4 (- 4 x^{5}) + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.17

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 4 (4 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.1.18

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x - 16 x^{5} + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.2

Subtrahiere $16 x^{5}$ von $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 8 x + 16 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.4.3

Addiere $8 x$ und $16 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.8.5.1

Faktorisiere $8 x$ aus $- 8 x^{5} + 16 x^{3} + 24 x$ heraus.

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Schritt 2.2.8.5.1.1

Faktorisiere $8 x$ aus $- 8 x^{5}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 16 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.1.2

Faktorisiere $8 x$ aus $16 x^{3}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.1.3

Faktorisiere $8 x$ aus $24 x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.1.4

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (- x^{4}) + 8 x (2 x^{2})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.1.5

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (- x^{4} + 2 x^{2}) + 8 x (3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{4} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (- {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.8.5.4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 2.2.8.5.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + 2 (u) + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.4.1.2

Schreibe $2$ um als $- 1$ plus $3$

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{8 x (- u^{2} - 1 u + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.8.5.4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$f'' (x) = \frac{8 x (u (- u - 1) - 3 (- u - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- u - 1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ((- u - 1) (u - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.5.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (- x^{2} - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- x^{2} - 1$ und ${(x^{2} + 1)}^{4}$ .

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Schritt 2.2.8.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.6.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{8 x (- (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.6.4

Schreibe $- (x^{2} + 1)$ als $- 1 (x^{2} + 1)$ um.

$f'' (x) = \frac{8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.6.5

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $8 x (- 1 (x^{2} + 1)) (x^{2} - 3)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.2.8.6.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.8.6.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.8.6.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.8.6.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{8 x \cdot ((- 1) (x^{2} - 3))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.8.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.2.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{8 x (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 x (x^{2} - 3) = 0$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.3

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse $x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 3$

Schritt 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{3}$

Schritt 3.3.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 3.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $8 x (x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

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Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 1}{{(0)}^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{0 - 4 \cdot 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 1}{0^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.3

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 1}{0^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.1.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \frac{1}{0^{2} + 1}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = \frac{1}{0 + 1}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$f (0) = \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2.3

Dividiere $1$ durch $1$ .

$f (0) = 1$

Schritt 4.1.2.4

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 1)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 1)$

Schritt 4.3

Ersetze $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{3}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{(\sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{3}) = \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 1}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Schritt 4.3.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Schritt 4.3.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.3.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.3.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.3.2.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.3.2.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 - 4 \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 4.3.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 - 4 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3.2.3.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{3}$ heraus.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3.2.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (- \sqrt{3})$ heraus.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.3.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 (1)}$

Schritt 4.3.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{3}) = \frac{4 (1 - \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{3}) = \frac{1 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 4.3.2.3.4.4

Dividiere $1 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$f (\sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3}$

Schritt 4.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $1 - \sqrt{3}$ .

$1 - \sqrt{3}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Schritt 4.5

Ersetze $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

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Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{3}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- \sqrt{3})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.5.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 {\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{\sqrt{3}}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.5.2.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3^{\frac{2}{2}} - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 - 4 (- \sqrt{3}) + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{3 + 4 \sqrt{3} + 1}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.1.6

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{3}$ an.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{1 {\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.2.3

Mutltipliziere ${\sqrt{3}}^{2}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}$

Schritt 4.5.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}$

Schritt 4.5.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.5.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}} + 1}$

Schritt 4.5.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.5.2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{3 + 1}$

Schritt 4.5.2.2.5

Addiere $3$ und $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 + 4 \sqrt{3}$ und $4$ .

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Schritt 4.5.2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.5.2.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 \cdot 1 + 4 (\sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (\sqrt{3})$ heraus.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 (1)}$

Schritt 4.5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{4 (1 + \sqrt{3})}{4 \cdot 1}$

Schritt 4.5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{3}) = \frac{1 + \sqrt{3}}{1}$

Schritt 4.5.2.3.4.4

Dividiere $1 + \sqrt{3}$ durch $1$ .

$f (- \sqrt{3}) = 1 + \sqrt{3}$

Schritt 4.5.2.4

Die endgültige Lösung ist $1 + \sqrt{3}$ .

$1 + \sqrt{3}$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \sqrt{3}$ in $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 1}{x^{2} + 1}$ ermittelt werden kann, ist $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}), (- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \sqrt{3}) \cup (- \sqrt{3}, 0) \cup (0, \sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{8 (- 1.8320508) ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1.8320508$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 14.65640646 ({(- 1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 14.65640646$ mit ${(- 1.8320508)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{({(- 1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $- 1.8320508$ mit $2$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Schritt 6.2.2.2

Addiere $3.35641016$ und $1$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Schritt 6.2.2.3

Potenziere $4.35641016$ mit $3$ .

$f'' (- 1.8320508) = - \frac{- 5.22369219}{82.67730033}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $- 5.22369219$ durch $82.67730033$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 0.06318169$ .

$f'' (- 1.8320508) = 0.06318169$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $0.06318169$ .

$0.06318169$

Schritt 6.3

Bei $- 1.8320508$ ist die zweite Ableitung $0.06318169$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \sqrt{3}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{8 (- 0.8660254) ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 0.8660254$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{- 6.92820323 ({(- 0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 6.92820323$ mit ${(- 0.8660254)}^{2} - 3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{({(- 0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Potenziere $- 0.8660254$ mit $2$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Schritt 7.2.2.2

Addiere $0.75$ und $1$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Schritt 7.2.2.3

Potenziere $1.75$ mit $3$ .

$f'' (- 0.8660254) = - \frac{15.58845726}{5.359375}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Dividiere $15.58845726$ durch $5.359375$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 1 \cdot 2.90863342$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2.90863342$ .

$f'' (- 0.8660254) = - 2.90863342$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 2.90863342$ .

$- 2.90863342$

Schritt 7.3

Bei $- 0.8660254$ , die zweite Ableitung ist $- 2.90863342$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \sqrt{3}, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \sqrt{3}, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{3})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{8 (0.8660254) ({(0.8660254)}^{2} - 3)}{{({(0.8660254)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $0.8660254$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{6.92820323 ({0.8660254}^{2} - 3)}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $6.92820323$ mit ${0.8660254}^{2} - 3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{({0.8660254}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Potenziere $0.8660254$ mit $2$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{(0.75 + 1)}^{3}}$

Schritt 8.2.2.2

Addiere $0.75$ und $1$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{{1.75}^{3}}$

Schritt 8.2.2.3

Potenziere $1.75$ mit $3$ .

$f'' (0.8660254) = - \frac{- 15.58845726}{5.359375}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Dividiere $- 15.58845726$ durch $5.359375$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2.90863342$ .

$f'' (0.8660254) = 2.90863342$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $2.90863342$ .

$2.90863342$

Schritt 8.3

Bei $0.8660254$ ist die zweite Ableitung $2.90863342$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \sqrt{3})$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \sqrt{3})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{8 (1.8320508) ({(1.8320508)}^{2} - 3)}{{({(1.8320508)}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $1.8320508$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{14.65640646 ({1.8320508}^{2} - 3)}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $14.65640646$ mit ${1.8320508}^{2} - 3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{({1.8320508}^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.2.1

Potenziere $1.8320508$ mit $2$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{(3.35641016 + 1)}^{3}}$

Schritt 9.2.2.2

Addiere $3.35641016$ und $1$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{{4.35641016}^{3}}$

Schritt 9.2.2.3

Potenziere $4.35641016$ mit $3$ .

$f'' (1.8320508) = - \frac{5.22369219}{82.67730033}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.3.1

Dividiere $5.22369219$ durch $82.67730033$ .

$f'' (1.8320508) = - 1 \cdot 0.06318169$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.06318169$ .

$f'' (1.8320508) = - 0.06318169$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 0.06318169$ .

$- 0.06318169$

Schritt 9.3

Bei $1.8320508$ , die zweite Ableitung ist $- 0.06318169$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\sqrt{3}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ .

$(- \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}), (0, 1), (\sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$

Schritt 11