Analysis Beispiele

$x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Schritt 1

Schreibe $x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ als Funktion.

$f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{162}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{162}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ und $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ und $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $162$ .

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Schritt 2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $162$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ mit $1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}] + \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $- \frac{1}{81}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{81} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.4

Da $- \frac{1}{162}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{162}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.8

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.9

Kombiniere $\frac{- 2}{162}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $162$ .

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Schritt 3.2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $162$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ und $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (x^{2} (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.13

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{2} (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.14

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.14.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.14.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.14.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x \cdot x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{1 + 2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.2.14.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- \frac{x^{2}}{162}})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} (- \frac{x^{2}}{162})$

Schritt 3.3.2

Da $- \frac{1}{162}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{162}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \cdot (2 x))$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- 2 (\frac{1}{162}) \cdot x)$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{162}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2}{162} x)$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $\frac{- 2}{162}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- 2 x}{162})$

Schritt 3.3.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $162$ .

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Schritt 3.3.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{162})$

Schritt 3.3.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $162$ heraus.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 (81)})$

Schritt 3.3.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{2 (- x)}{2 \cdot 81})$

Schritt 3.3.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (\frac{- x}{81})$

Schritt 3.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x}{81})$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ und $\frac{x}{81}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = - \frac{1}{81} \cdot (- \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}) - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{1}{81}) \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{81}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{81} \cdot \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{81}$ mit $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81 \cdot 81} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $81$ mit $81$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{1}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (2 x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - 2 (\frac{1}{81}) \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.6

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2}{81} \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (x)) - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.7

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ und $\frac{- 2}{81}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81} \cdot x - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.8

Kombiniere $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot - 2}{81}$ und $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot (- 2 x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.9

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 \cdot (e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.11

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x - e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.12

Subtrahiere $e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ von $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{81}$

Schritt 3.4.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $81$ .

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Schritt 3.4.2.13.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 e^{- \frac{x^{2}}{162}} x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{81}$

Schritt 3.4.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.13.2.1

Faktorisiere $3$ aus $81$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 (27)}$

Schritt 3.4.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{3 (- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x)}{3 \cdot 27}$

Schritt 3.4.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} + \frac{- e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Schritt 3.4.2.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Faktoren in $\frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}} x}{27}$ um.

$f'' (x) = \frac{x^{3} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{6561} - \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 5.1.1

$x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{162}}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{162}$ .

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Schritt 5.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- \frac{x^{2}}{162}$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{162}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Differenziere.

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Schritt 5.1.3.1

Da $- \frac{1}{162}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{162}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{1}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.3.2.1

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ und $\frac{1}{162}$ .

$x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.1.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{162}$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} x + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162}$ und $x$ .

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{162}}) x}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.7.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $162$ .

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Schritt 5.1.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{162} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $162$ heraus.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 (81)} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}})}{2 \cdot 81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$

Schritt 5.1.9

Mutltipliziere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ .

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Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Schritt 6.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ aus $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81} + e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ heraus.

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Schritt 6.2.1.1

Faktorisiere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ aus $- \frac{x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{162}}}{81}$ heraus.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Schritt 6.2.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1 = 0$

Schritt 6.2.1.3

Faktorisiere $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ aus $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81}) + e^{- \frac{x^{2}}{162}} \cdot 1$ heraus.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1) = 0$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- \frac{x^{2}}{81} + 1^{2}) = 0$

Schritt 6.2.3

Schreibe $\frac{x^{2}}{81}$ als ${(\frac{x}{9})}^{2}$ um.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (- {(\frac{x}{9})}^{2} + 1^{2}) = 0$

Schritt 6.2.4

Stelle $- {(\frac{x}{9})}^{2}$ und $1^{2}$ um.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1^{2} - {(\frac{x}{9})}^{2}) = 0$

Schritt 6.2.5

Faktorisiere.

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Schritt 6.2.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = \frac{x}{9}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} ((1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9})) = 0$

Schritt 6.2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$

Schritt 6.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

$1 + \frac{x}{9} = 0$

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Schritt 6.4

Setze $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.1

Setze $e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ gleich $0$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Schritt 6.4.2

Löse $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{162}}) = \ln (0)$

Schritt 6.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 6.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{- \frac{x^{2}}{162}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 6.5

Setze $1 + \frac{x}{9}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.1

Setze $1 + \frac{x}{9}$ gleich $0$ .

$1 + \frac{x}{9} = 0$

Schritt 6.5.2

Löse $1 + \frac{x}{9} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x}{9} = - 1$

Schritt 6.5.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Schritt 6.5.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.5.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.5.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{x}{9} = 9 \cdot - 1$

Schritt 6.5.2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 9 \cdot - 1$

Schritt 6.5.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.2.3.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$x = - 9$

Schritt 6.6

Setze $1 - \frac{x}{9}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.1

Setze $1 - \frac{x}{9}$ gleich $0$ .

$1 - \frac{x}{9} = 0$

Schritt 6.6.2

Löse $1 - \frac{x}{9} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 6.6.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{x}{9} = - 1$

Schritt 6.6.2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 9$ .

$- 9 (- \frac{x}{9}) = - 9 \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.6.2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.3.1.1

Vereinfache $- 9 (- \frac{x}{9})$ .

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Schritt 6.6.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 6.6.2.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{9}$ in den Zähler.

$- 9 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3.1.1.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$9 (- 1) \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot - 1 \frac{- x}{9} = - 9 \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - x = - 9 \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 6.6.2.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x = - 9 \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = - 9 \cdot - 1$

Schritt 6.6.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$x = 9$

Schritt 6.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{- \frac{x^{2}}{162}} (1 + \frac{x}{9}) (1 - \frac{x}{9}) = 0$ wahr machen.

$x = - 9, 9$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = - 9, 9$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 9$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{{(- 9)}^{3} e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Bringe $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.2

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{{(- 9)}^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.3

Potenziere $- 9$ mit $3$ .

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $162$ .

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Schritt 10.1.4.1

Faktorisiere $81$ aus $81$ heraus.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.1.4.2.1

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $729$ aus $- 729$ heraus.

$\frac{729 (- 1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.6.1

Faktorisiere $729$ aus $6561 e^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{729 (- 1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{729 \cdot - 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(- 9) e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 10.1.8

Bringe $e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 9}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Schritt 10.1.9

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Schritt 10.1.10

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.10.1

Faktorisiere $9$ aus $27 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$ heraus.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (- 1)}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Schritt 10.1.10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot - 1}{9 (3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}})}$

Schritt 10.1.10.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{{(- 9)}^{2}}{162}}}$

Schritt 10.1.11

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Schritt 10.1.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $162$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.12.1

Faktorisiere $81$ aus $81$ heraus.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Schritt 10.1.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.12.2.1

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Schritt 10.1.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Schritt 10.1.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{- 1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.14

Multipliziere $- - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 10.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.14.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.2

Um $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 10.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 e^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 10.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.5

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11

$x = - 9$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 9$ ist ein lokales Minimum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 9$ .

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Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9$ .

$f (- 9) = (- 9) \cdot e^{- \frac{{(- 9)}^{2}}{162}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 12.2.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Schritt 12.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $162$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Faktorisiere $81$ aus $81$ heraus.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Schritt 12.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.2.2.1

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Schritt 12.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Schritt 12.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 9) = - 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 12.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 9) = - 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.4

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (- 9) = \frac{- 9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 9) = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 12.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 9$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{{(9)}^{3} e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{6561} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 14.1.1

Bringe $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(9)}^{3}}{6561 e^{\frac{9^{2}}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{9^{3}}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.3

Potenziere $9$ mit $3$ .

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $162$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.4.1

Faktorisiere $81$ aus $81$ heraus.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 (1)}{162}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.4.2.1

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{729}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.5

Faktorisiere $729$ aus $729$ heraus.

$\frac{729 (1)}{6561 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1.6.1

Faktorisiere $729$ aus $6561 e^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{729 (1)}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{729 \cdot 1}{729 (9 e^{\frac{1}{2}})} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{(9) e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}}{27}$

Schritt 14.1.7

Bringe $e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Schritt 14.1.8

Faktorisiere $9$ aus $9$ heraus.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{27 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Schritt 14.1.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.9.1

Faktorisiere $9$ aus $27 e^{\frac{9^{2}}{162}}$ heraus.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 (1)}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Schritt 14.1.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{9 \cdot 1}{9 (3 e^{\frac{9^{2}}{162}})}$

Schritt 14.1.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{9^{2}}{162}}}$

Schritt 14.1.10

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81}{162}}}$

Schritt 14.1.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $162$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.11.1

Faktorisiere $81$ aus $81$ heraus.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 (1)}{162}}}$

Schritt 14.1.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.11.2.1

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Schritt 14.1.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}}$

Schritt 14.1.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Um $- \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 14.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 e^{\frac{1}{2}}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 e^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{3 e^{\frac{1}{2}} \cdot 3}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{9 e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 3}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.5

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{- 2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{9 e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

$x = 9$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 9$ ist ein lokales Maximum

Schritt 16

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $9$ .

$f (9) = (9) \cdot e^{- \frac{{(9)}^{2}}{162}}$

Schritt 16.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81}{162}}$

Schritt 16.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $81$ und $162$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.1

Faktorisiere $81$ aus $81$ heraus.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 (1)}{162}}$

Schritt 16.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.2.2.1

Faktorisiere $81$ aus $162$ heraus.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Schritt 16.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{81 \cdot 1}{81 \cdot 2}}$

Schritt 16.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (9) = 9 \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 16.2.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (9) = 9 \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2.4

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (9) = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 16.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 17

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = x e^{- \frac{x^{2}}{162}}$ .

$(- 9, - \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ ist ein lokales Minimum

$(9, \frac{9}{e^{\frac{1}{2}}})$ ist ein lokales Maximum

Schritt 18