Analysis Beispiele

$\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Schritt 1

Schreibe $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ als Funktion.

$f (x) = \sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$

Schritt 2

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 2.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 2.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{2 (2 x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.3.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{4}$

Schritt 3.3.11

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 3.3.12

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Schritt 5

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{x} - \sqrt{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5.1.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 5.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 5.1.3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5.1.3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 5.1.3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 5.1.3.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 5.1.3.7.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5.1.3.8

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 5.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 6

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$

Schritt 6.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$

Schritt 6.2.2

Da $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $2, 2, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{\frac{1}{2}}$ .

Schritt 6.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.2.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 6.2.5

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.2.6

Das kgV von $2, 2, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 6.2.7

Das kgV von $x^{\frac{1}{2}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.8

Das kgV von $2 x^{\frac{1}{2}}, 2, 1$ ist der numerische Teil $2$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$2 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ mit $2 x^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} = 0$ mit $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ in den Zähler.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 (x^{\frac{1}{2}})) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 + \frac{- 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.5

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.2.1.5.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$1 - 3 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 - 3 x^{\frac{1 + 1}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$1 - 3 x^{\frac{2}{2}} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.5.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$1 - 3 x^{1} = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.6

Vereinfache $- 3 x^{1}$ .

$1 - 3 x = 0 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1

Multipliziere $0 (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$1 - 3 x = 0 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - 3 x = 0$

Schritt 6.4

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x = - 1$

Schritt 6.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x = - 1$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 6.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 6.4.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

Schritt 6.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.4.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{1}{3}$

Schritt 7

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 7.1.2

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Schritt 7.1.3

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x^{1}}}{2}$

Schritt 7.1.4

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{3 \sqrt{x}}{2}$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{x} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 x^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 x = 0^{2}$

Schritt 7.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 x = 0$

Schritt 7.3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 7.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 7.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 7.5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 8

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = \frac{1}{3}, 0$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{1}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$- \frac{1}{4 \frac{1^{\frac{3}{2}}}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{4 \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{3^{\frac{3}{2}}}} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (1 \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}) - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.4

Mutltipliziere $\frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$ mit $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 10.1.5

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.5.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 10.1.5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{4 \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 10.1.6

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3}{\frac{4}{3^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 10.1.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - (3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4})$

Schritt 10.1.8

Multipliziere $3 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.8.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3^{\frac{1}{2}}}{4}$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 10.1.8.2

Multipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.8.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1.8.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 10.1.8.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{1 + \frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 10.1.8.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{4}$

Schritt 10.1.8.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{2 + 1}{2}}}{4}$

Schritt 10.1.8.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4} - \frac{3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 10.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}} - 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 10.2.2

Subtrahiere $3^{\frac{3}{2}}$ von $- 3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{4}$

Schritt 10.2.3

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{4}$

Schritt 10.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 (2)}$

Schritt 10.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 2}$

Schritt 10.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 11

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = \frac{1}{3}$ ist ein lokales Maximum

Schritt 12

Ermittele den y-Wert, wenn $x = \frac{1}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.1

Entferne die Klammern.

$f (\frac{1}{3}) = \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{3}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{3}}$

Schritt 12.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1^{3}}{3^{3}}}$

Schritt 12.2.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{3^{3}}}$

Schritt 12.2.2.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \sqrt{\frac{1}{27}}$

Schritt 12.2.2.8

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{27}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$ um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{27}}$

Schritt 12.2.2.9

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{27}}$

Schritt 12.2.2.10

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.10.1

Schreibe $27$ als $3^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.10.1.1

Faktorisiere $9$ aus $27$ heraus.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{9 (3)}}$

Schritt 12.2.2.10.1.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}$

Schritt 12.2.2.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

Schritt 12.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - (\frac{1}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 12.2.2.12

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.12.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 \sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 12.2.2.12.2

Bewege $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 12.2.2.12.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 12.2.2.12.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Schritt 12.2.2.12.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.2.2.12.6

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 12.2.2.12.7

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.12.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.2.2.12.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.2.2.12.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.2.12.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.2.12.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.2.12.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Schritt 12.2.2.12.7.5

Berechne den Exponenten.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Schritt 12.2.2.13

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Schritt 12.2.3

Um $\frac{\sqrt{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Schritt 12.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Schritt 12.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{9} - \frac{\sqrt{3}}{9}$

Schritt 12.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3}}{9}$

Schritt 12.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.2.6.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{3 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}}{9}$

Schritt 12.2.6.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 12.2.7

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- \frac{1}{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Berechne die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \frac{1}{4 {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{4 \cdot 0^{3}} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$- \frac{1}{0} - \frac{3}{4 {(0)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 15

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 16