Analysis Beispiele

$f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ als Gleichung.

$y = - \frac{4 x - 7}{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{4 y - 7}{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ um.

$- \frac{4 y - 7}{y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4 y - 7}{y} = x$ mit $y$ .

$- \frac{4 y - 7}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 y - 7}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- (4 y - 7)}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- (4 y - 7)}{y} y = x y$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- (4 y - 7) = x y$

Schritt 3.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- (4 y) - - 7 = x y$

Schritt 3.3.2.3

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 y - - 7 = x y$

Schritt 3.3.2.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$- 4 y + 7 = x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y + 7 - x y = 0$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y - x y = - 7$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 4 y$ heraus.

$y \cdot - 4 - x y = - 7$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot - 4 + y (- x) = - 7$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 4 + y (- x)$ heraus.

$y (- 4 - x) = - 7$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 4 - x) = - 7$ durch $- 4 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 4 - x) = - 7$ durch $- 4 - x$ .

$\frac{y (- 4 - x)}{- 4 - x} = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 4 - x)}{- 4 - x} = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 7}{- 4 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{7}{- 4 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y = - \frac{7}{- 1 (4) - x}$

Schritt 3.4.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = - \frac{7}{- 1 (4) - (x)}$

Schritt 3.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (4) - (x)$ heraus.

$y = - \frac{7}{- 1 (4 + x)}$

Schritt 3.4.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.4.3.5.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{7}{4 + x}$

Schritt 3.4.4.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{7}{4 + x}$

Schritt 3.4.4.3.5.3

Mutltipliziere $\frac{7}{4 + x}$ mit $1$ .

$y = \frac{7}{4 + x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{4 - \frac{4 x - 7}{x}}$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{4 - \frac{4 x - 7}{x}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x}{x} - \frac{4 x - 7}{x}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - (4 x - 7)}{x}}$

Schritt 5.2.4.3

Schreibe $\frac{4 x - (4 x - 7)}{x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - (4 x) + 7}{x}}$

Schritt 5.2.4.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - 4 x + 7}{x}}$

Schritt 5.2.4.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{4 x - 4 x + 7}{x}}$

Schritt 5.2.4.3.4

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{0 + 7}{x}}$

Schritt 5.2.4.3.5

Addiere $0$ und $7$ .

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = \frac{7}{\frac{7}{x}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = 7 (\frac{x}{7})$

Schritt 5.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- \frac{4 x - 7}{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7}{4 + x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - \frac{4 (\frac{7}{4 + x}) - 7}{\frac{7}{4 + x}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((4 (\frac{7}{4 + x}) - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Schritt 5.3.4

Multipliziere $4 \frac{7}{4 + x}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{7}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{4 \cdot 7}{4 + x} - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Schritt 5.3.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} - 7) (\frac{4 + x}{7}))$

Schritt 5.3.5

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} - 7 \cdot \frac{4 + x}{4 + x}) (\frac{4 + x}{7}))$

Schritt 5.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.6.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{4 + x}{4 + x}$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - ((\frac{28}{4 + x} + \frac{- 7 (4 + x)}{4 + x}) (\frac{4 + x}{7}))$

Schritt 5.3.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{28 - 7 (4 + x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $7$ aus $28 - 7 (4 + x)$ heraus.

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Schritt 5.3.7.1.1

Faktorisiere $7$ aus $28$ heraus.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4) - 7 (4 + x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.1.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7 (4 + x)$ heraus.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4) + 7 (- (4 + x))}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.1.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (4) + 7 (- (4 + x))$ heraus.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - (4 + x))}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - 1 \cdot 4 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (4 - 4 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.4

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (0 - x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.5

Subtrahiere $x$ von $0$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 \cdot (- 1 x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.7.6.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- (7 x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.7.6.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- 7 x}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 5.3.8.1.1

Faktorisiere $7$ aus $- 7 x$ heraus.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (- x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.8.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{7 (- x)}{4 + x} \cdot \frac{4 + x}{7})$

Schritt 5.3.8.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- x}{4 + x} \cdot (4 + x))$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 + x$ .

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Schritt 5.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7}{4 + x}) = - (\frac{- x}{4 + x} \cdot (4 + x))$

Schritt 5.3.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7}{4 + x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - \frac{4 x - 7}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7}{4 + x}$