Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 12}{x - 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 12$ und $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 12$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x + 0) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{(x - 4) (2 x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 4) x) - (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x - 4)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - (x^{2} - 12)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 4 x) - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 12$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x - x^{2} + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 12}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere $x^{2} - 8 x + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 8$ ist.

$- 6, - 2$

Schritt 1.1.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 6) (x - 2) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 6) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 6, 2$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $6, 2$ .

$6, 2$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 6) (x - 2)}{{(x - 4)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 4)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 2) \cup (2, 4) \cup (4, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 2)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f' (1) = \frac{((1) - 6) ((1) - 2)}{{((1) - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 (1 - 2)}{{(1 - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{{(1 - 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{{(- 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (1) = \frac{- 5 \cdot - 1}{9}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f' (1) = \frac{5}{9}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{9}$ .

$\frac{5}{9}$

Schritt 6.3

Bei $x = 1$ ist die Ableitung $\frac{5}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 2)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 2)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(2, 4)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f' (3) = \frac{((3) - 6) ((3) - 2)}{{((3) - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 (3 - 2)}{{(3 - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{{(3 - 4)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (3) = \frac{- 3 \cdot 1}{1}$

Schritt 7.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (3) = \frac{- 3}{1}$

Schritt 7.2.3.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$f' (3) = - 3$

Schritt 7.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 7.3

Bei $x = 3$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(2, 4)$ ab.

Abfallend im Intervall $(2, 4)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(4, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $5$ .

$f' (5) = \frac{((5) - 6) ((5) - 2)}{{((5) - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 (5 - 2)}{{(5 - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{{(5 - 4)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $5$ .

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{1^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f' (5) = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f' (5) = \frac{- 3}{1}$

Schritt 8.2.3.2

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$f' (5) = - 3$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 3$ .

$- 3$

Schritt 8.3

Bei $x = 5$ ist die Ableitung $- 3$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(4, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(4, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = \frac{((7) - 6) ((7) - 2)}{{((7) - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{1 (7 - 2)}{{(7 - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $7 - 2$ mit $1$ .

$f' (7) = \frac{7 - 2}{{(7 - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.1.3

Subtrahiere $2$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{5}{{(7 - 4)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{5}{3^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (7) = \frac{5}{9}$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{9}$ .

$\frac{5}{9}$

Schritt 9.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $\frac{5}{9}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(6, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 2), (6, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(2, 4), (4, 6)$

Schritt 11