Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4 x^{2}}{x - 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{2}}{x - 3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 3}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 3$ .

$4 \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{(x - 3) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 3$ .

$4 \frac{2 \cdot (x - 3) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 \frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.3

Kombiniere $4$ und $\frac{2 (x - 3) x - x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 (2 (x - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((2 x + 2 \cdot - 3) x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (2 x \cdot x) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (2 (x \cdot x)) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (2 \cdot - 3 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 (- 6 x) + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x + 4 (- x^{2})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{8 x^{2} - 24 x - 4 x^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.4.2

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.5

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2} - 24 x$ heraus.

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Schritt 1.1.4.5.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{4 x (x) - 24 x}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.5.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 24 x$ heraus.

$\frac{4 x (x) + 4 x (- 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.5.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x) + 4 x (- 6)$ heraus.

$f' (x) = \frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x (x - 6) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x - 6 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x - 6) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 6$

Schritt 3

Die Werte, die die Ableitung gleich $0$ machen, sind $0, 6$ .

$0, 6$

Schritt 4

Ermittele, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{4 x (x - 6)}{{(x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum, sodass die Ableitung gleich $0$ oder nicht definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 (- 1) ((- 1) - 6)}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 1 - 3)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{{(- 4)}^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 (- 1 - 6)}{16}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.1

Subtrahiere $6$ von $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4 \cdot - 7}{16}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$f' (- 1) = \frac{28}{16}$

Schritt 6.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $16$ .

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Schritt 6.2.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$f' (- 1) = \frac{4 (7)}{16}$

Schritt 6.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Schritt 6.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (- 1) = \frac{7}{4}$

Schritt 6.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 6.3

Bei $x = - 1$ ist die Ableitung $\frac{7}{4}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(- \infty, 0)$ an.

Ansteigend im Intervall $(- \infty, 0)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, 3)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{4 (\frac{3}{2}) ((\frac{3}{2}) - 6)}{{((\frac{3}{2}) - 3)}^{2}}$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 7.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 7.2.2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{3 - 6}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.4.2

Subtrahiere $6$ von $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.6

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 7.2.2.8

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Schritt 7.2.2.9

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Schritt 7.2.2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{1 (\frac{9}{4})}$

Schritt 7.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{9}{4}$ mit $1$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 3}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{\frac{12}{2} \cdot (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.1

Dividiere $12$ durch $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.2.4.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{3 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.5.2

Subtrahiere $12$ von $3$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 (\frac{- 9}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{6 \cdot (- 1 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.7

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.2.4.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- (6 (\frac{9}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.7.2

Kombiniere $6$ und $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{6 \cdot 9}{2}}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.7.3

Mutltipliziere $6$ mit $9$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.4.8

Dividiere $54$ durch $2$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Schritt 7.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{3}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Schritt 7.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 7.2.7.1

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Schritt 7.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{3}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Schritt 7.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{3}{2}) = - 3 \cdot 4$

Schritt 7.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f' (\frac{3}{2}) = - 12$

Schritt 7.2.9

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 7.3

Bei $x = \frac{3}{2}$ ist die Ableitung $- 12$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(0, 3)$ ab.

Abfallend im Intervall $(0, 3)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(3, 6)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{4 (\frac{9}{2}) ((\frac{9}{2}) - 6)}{{((\frac{9}{2}) - 3)}^{2}}$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.2.2.1

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 3 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.2.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{9 - 6}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.4.2

Subtrahiere $6$ von $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{{(\frac{3}{2})}^{2}}$

Schritt 8.2.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{2^{2}}}$

Schritt 8.2.2.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{4 \cdot 9}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{\frac{36}{2} \cdot (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.4.1

Dividiere $36$ durch $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6)}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 6 \cdot 2}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{9 - 12}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.5.2

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 (\frac{- 3}{2})}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{18 \cdot (- 1 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.7

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.4.7.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- (18 (\frac{3}{2}))}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.7.2

Kombiniere $18$ und $\frac{3}{2}$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{18 \cdot 3}{2}}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.7.3

Mutltipliziere $18$ mit $3$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- \frac{54}{2}}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.4.8

Dividiere $54$ durch $2$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 1 \cdot 27}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$f' (\frac{9}{2}) = \frac{- 27}{\frac{9}{4}}$

Schritt 8.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f' (\frac{9}{2}) = - 27 (\frac{4}{9})$

Schritt 8.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 8.2.7.1

Faktorisiere $9$ aus $- 27$ heraus.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 (- 3) (\frac{4}{9})$

Schritt 8.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (\frac{9}{2}) = 9 \cdot (- 3 (\frac{4}{9}))$

Schritt 8.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (\frac{9}{2}) = - 3 \cdot 4$

Schritt 8.2.8

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$f' (\frac{9}{2}) = - 12$

Schritt 8.2.9

Die endgültige Lösung ist $- 12$ .

$- 12$

Schritt 8.3

Bei $x = \frac{9}{2}$ ist die Ableitung $- 12$ . Da dies negativ ist, nimmt die Funktion im Intervall $(3, 6)$ ab.

Abfallend im Intervall $(3, 6)$ da $f' (x) < 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(6, \infty)$ in die Ableitung ein, um zu bestimmen, ob die Funktion ansteigend oder abfallend ist.

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Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $7$ .

$f' (7) = \frac{4 (7) ((7) - 6)}{{((7) - 3)}^{2}}$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{{(7 - 3)}^{2}}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{4^{2}}$

Schritt 9.2.2.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$f' (7) = \frac{28 (7 - 6)}{16}$

Schritt 9.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.1

Subtrahiere $6$ von $7$ .

$f' (7) = \frac{28 \cdot 1}{16}$

Schritt 9.2.3.2

Mutltipliziere $28$ mit $1$ .

$f' (7) = \frac{28}{16}$

Schritt 9.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $28$ und $16$ .

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Schritt 9.2.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$f' (7) = \frac{4 (7)}{16}$

Schritt 9.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.3.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Schritt 9.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (7) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 4}$

Schritt 9.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (7) = \frac{7}{4}$

Schritt 9.2.4

Die endgültige Lösung ist $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Schritt 9.3

Bei $x = 7$ ist die Ableitung $\frac{7}{4}$ . Da dies positiv ist, steigt die Funktion im Intervall $(6, \infty)$ an.

Ansteigend im Intervall $(6, \infty)$ , da $f' (x) > 0$

Schritt 10

Liste die Intervalle auf, in denen die Funktion ansteigt und in denen sie abfällt.

Ansteigend im Intervall: $(- \infty, 0), (6, \infty)$

Abfallend im Intervall: $(0, 3), (3, 6)$

Schritt 11