Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 1.4

Differenziere.

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Schritt 1.5.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{6}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{6}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{x}}{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} (e^{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{d}{d x} (- \frac{e^{- x}}{6})$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{e^{- x}}{6}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{e^{- x}}{6}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot \frac{d}{d x} e^{- x}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 2.3.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 2.3.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} - \frac{1}{6} \cdot (- e^{- x})$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + 1 (\frac{1}{6}) \cdot e^{- x}$

Schritt 2.3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{6}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{1}{6} \cdot e^{- x}$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{- x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{6} \cdot e^{x} + \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x}}{6} + \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]$

Schritt 4.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 4.1.4

Differenziere.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Schritt 4.1.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)$

Schritt 4.1.4.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})$

Schritt 4.1.4.3.3

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$\frac{1}{6} (e^{x} - e^{- x})$

Schritt 4.1.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{6} e^{x} + \frac{1}{6} (- e^{- x})$

Schritt 4.1.5.2

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{1}{6} e^{x} - \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{x}}{6} - \frac{e^{- x}}{6} = 0$

Schritt 5.2

Bringe $- \frac{e^{- x}}{6}$ auf die rechte Seite der Gleichung, indem du es auf beiden Seiten addierst.

$\frac{e^{x}}{6} = \frac{e^{- x}}{6}$

Schritt 5.3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$e^{x} = e^{- x}$

Schritt 5.4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = - x$

Schritt 5.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.5.1.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x + x = 0$

Schritt 5.5.1.2

Addiere $x$ und $x$ .

$2 x = 0$

Schritt 5.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 5.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{e^{0}}{6} + \frac{e^{- (0)}}{6}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{1 + e^{0}}{6}$

Schritt 9.2.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 + 1}{6}$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{6}$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = \frac{e^{0} + e^{- (0)}}{6}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{- (0)}}{6}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = \frac{1 + e^{0}}{6}$

Schritt 11.2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$f (0) = \frac{1 + 1}{6}$

Schritt 11.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (0) = \frac{2}{6}$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f (0) = \frac{2 (1)}{6}$

Schritt 11.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Schritt 11.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (0) = \frac{1}{3}$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{6}$ .

$(0, \frac{1}{3})$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13