Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + 8 x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{3}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.2.5.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{6}{2}$ und $x$ .

$x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.3.6.2.4

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 3 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} + 3 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$x^{2} + 3 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.5.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} + 3 x + 8 + 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $x^{2} + 3 x + 8$ und $0$ .

$x^{2} + 3 x + 8$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + \frac{d}{d x} (8)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3 + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2 x + 3$ und $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 3$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$x^{2} + 3 x + 8 = 0$

Schritt 4

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 5

Keine lokalen Extrema

Schritt 6