Analysis Beispiele

$y = {(4 + \frac{1}{x})}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 4 + \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 + \frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 + \frac{1}{x}$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [4 + \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 1.2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.3.1

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} (- x^{- 2})$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} x^{- 2}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2} \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 3$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} {(4 + \frac{1}{x})}^{2}$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{- 3}{x^{2}}$ und ${(4 + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$\frac{- 3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 {(4 + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.3.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{3 {(\frac{4 x}{x} + \frac{1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{3 {(\frac{4 x + 1}{x})}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.3.3

Wende die Produktregel auf $\frac{4 x + 1}{x}$ an.

$- \frac{3 \frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $3$ und $\frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{\frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}}}{x^{2}}$

Schritt 1.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (\frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.3.6

Kombinieren.

$- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}$

Schritt 1.3.7

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.7.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{2 + 2}}$

Schritt 1.3.7.2

Addiere $2$ und $2$ .

$- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2} \cdot 1}{x^{4}}$

Schritt 1.3.8

Mutltipliziere $3 {(4 x + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 {(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\frac{{(4 x + 1)}^{2}}{x^{4}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(4 x + 1)}^{2}$ und $g (x) = x^{4}$ .

$- 3 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}] - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Schritt 2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}] - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- 3 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [{(4 x + 1)}^{2}] - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 4 x + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x + 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 u \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x + 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x + 1]) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5

Differenziere.

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Schritt 2.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [1])) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) (4 + 0)) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.6.1

Addiere $4$ und $0$ .

$- 3 \frac{x^{4} (2 (4 x + 1) \cdot 4) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- 3 \frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - {(4 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Schritt 2.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- 3 \frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - {(4 x + 1)}^{2} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.5.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.5.8.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 3 \frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.5.8.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 3 (x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.5.8.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x + 1)) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x) + 8 \cdot 1) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x)) + x^{4} (8 \cdot 1) - 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{3 (x^{4} (8 (4 x))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.4.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$- \frac{3 (x \cdot x^{4} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 2.6.4.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{3 (x^{1} x^{4} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{3 (x^{1 + 4} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.1.3

Addiere $1$ und $4$ .

$- \frac{3 (x^{5} (8 \cdot (4))) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $4$ .

$- \frac{3 (x^{5} \cdot 32) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.3

Bringe $32$ auf die linke Seite von $x^{5}$ .

$- \frac{3 (32 \cdot x^{5}) + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.4

Mutltipliziere $32$ mit $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 3 (x^{4} (8 \cdot 1)) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 3 (x^{4} \cdot 8) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.6

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$- \frac{96 x^{5} + 3 (8 \cdot x^{4}) + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.7

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 {(4 x + 1)}^{2} x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.8

Schreibe ${(4 x + 1)}^{2}$ als $(4 x + 1) (4 x + 1)$ um.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 ((4 x + 1) (4 x + 1)) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.9

Multipliziere $(4 x + 1) (4 x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.6.4.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 x (4 x + 1) + 1 (4 x + 1)) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x + 1)) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 x (4 x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.6.4.1.10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.4.1.10.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.1.10.1.2.1

Bewege $x$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10.1.5

Mutltipliziere $4 x$ mit $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10.1.6

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 4 x + 4 x + 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.10.2

Addiere $4 x$ und $4 x$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 4 (16 x^{2} + 8 x + 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.11

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 4 (16 x^{2}) - 4 (8 x) - 4 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.12

Vereinfache.

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Schritt 2.6.4.1.12.1

Mutltipliziere $16$ mit $- 4$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 64 x^{2} - 4 (8 x) - 4 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.12.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 4$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 64 x^{2} - 32 x - 4 \cdot 1) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.12.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 ((- 64 x^{2} - 32 x - 4) x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.13

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{2} x^{3} - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.14

Vereinfache.

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Schritt 2.6.4.1.14.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.1.14.1.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 (x^{3} x^{2}) - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.14.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{3 + 2} - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.14.1.3

Addiere $3$ und $2$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 x \cdot x^{3} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.14.2

Multipliziere $x$ mit $x^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.4.1.14.2.1

Bewege $x^{3}$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 (x^{3} x) - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.14.2.2

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $x$ .

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Schritt 2.6.4.1.14.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 (x^{3} x^{1}) - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.14.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 x^{3 + 1} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.14.2.3

Addiere $3$ und $1$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5} - 32 x^{4} - 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.15

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} + 3 (- 64 x^{5}) + 3 (- 32 x^{4}) + 3 (- 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.16

Vereinfache.

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Schritt 2.6.4.1.16.1

Mutltipliziere $- 64$ mit $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} - 192 x^{5} + 3 (- 32 x^{4}) + 3 (- 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.16.2

Mutltipliziere $- 32$ mit $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} - 192 x^{5} - 96 x^{4} + 3 (- 4 x^{3})}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.1.16.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$- \frac{96 x^{5} + 24 x^{4} - 192 x^{5} - 96 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.2

Subtrahiere $192 x^{5}$ von $96 x^{5}$ .

$- \frac{- 96 x^{5} + 24 x^{4} - 96 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.6.4.3

Subtrahiere $96 x^{4}$ von $24 x^{4}$ .

$- \frac{- 96 x^{5} - 72 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $12 x^{3}$ aus $- 96 x^{5} - 72 x^{4} - 12 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.6.5.1.1

Faktorisiere $12 x^{3}$ aus $- 96 x^{5}$ heraus.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2}) - 72 x^{4} - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.1.2

Faktorisiere $12 x^{3}$ aus $- 72 x^{4}$ heraus.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2}) + 12 x^{3} (- 6 x) - 12 x^{3}}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.1.3

Faktorisiere $12 x^{3}$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2}) + 12 x^{3} (- 6 x) + 12 x^{3} (- 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.1.4

Faktorisiere $12 x^{3}$ aus $12 x^{3} (- 8 x^{2}) + 12 x^{3} (- 6 x)$ heraus.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 x) + 12 x^{3} (- 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.1.5

Faktorisiere $12 x^{3}$ aus $12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 x) + 12 x^{3} (- 1)$ heraus.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 x - 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.6.5.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 8 \cdot - 1 = 8$ und deren Summe gleich $b = - 6$ ist.

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Schritt 2.6.5.2.1.1

Faktorisiere $- 6$ aus $- 6 x$ heraus.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 6 (x) - 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.2.1.2

Schreibe $- 6$ um als $- 2$ plus $- 4$

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} + (- 2 - 4) x - 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{12 x^{3} (- 8 x^{2} - 2 x - 4 x - 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.6.5.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- \frac{12 x^{3} ((- 8 x^{2} - 2 x) - 4 x - 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- \frac{12 x^{3} (2 x (- 4 x - 1) + 1 (- 4 x - 1))}{x^{8}}$

Schritt 2.6.5.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 4 x - 1$ .

$- \frac{12 x^{3} ((- 4 x - 1) (2 x + 1))}{x^{8}}$

$- \frac{12 x^{3} (- 4 x - 1) (2 x + 1)}{x^{8}}$

Schritt 2.6.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{8}$ .

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Schritt 2.6.6.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $12 x^{3} (- 4 x - 1) (2 x + 1)$ heraus.

$- \frac{x^{3} ((12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1))}{x^{8}}$

Schritt 2.6.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.6.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{8}$ heraus.

$- \frac{x^{3} ((12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 2.6.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{x^{3} ((12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1))}{x^{3} x^{5}}$

Schritt 2.6.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{(12 (- 4 x - 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 x$ heraus.

$- \frac{12 (- (4 x) - 1) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.8

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$- \frac{12 (- (4 x) - 1 (1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (4 x) - 1 (1)$ heraus.

$- \frac{12 (- (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.10

Schreibe $- (4 x + 1)$ als $- 1 (4 x + 1)$ um.

$- \frac{12 (- 1 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.13

Mutltipliziere $\frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$ mit $1$ .

$\frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$

Schritt 2.6.14

Stelle die Faktoren in $\frac{(12 (4 x + 1)) (2 x + 1)}{x^{5}}$ um.

$f'' (x) = \frac{12 (4 x + 1) (2 x + 1)}{x^{5}}$