Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 6$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 6) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

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Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.3.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.6.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (6 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

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Schritt 1.6.3.2.1

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 1.6.3.2.2

Addiere $12 x$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 6)}^{2}})$

Schritt 2.2

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}})$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 6)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{2 \cdot 2}})$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 6)}^{2}$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - x (2 (x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{{(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 6$ aus ${(x^{2} + 6)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 6$ aus ${(x^{2} + 6)}^{2}$ heraus.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) - 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 6$ aus $- 2 x ((x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ heraus.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 6$ aus $(x^{2} + 6) (x^{2} + 6) + (x^{2} + 6) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ heraus.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 6$ aus ${(x^{2} + 6)}^{4}$ heraus.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = 12 (\frac{(x^{2} + 6) (x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{(x^{2} + 6) {(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{x^{2} + 6 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 (\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}})$

Schritt 2.16

Kombiniere $12$ und $\frac{- 3 x^{2} + 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.17.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{12 (- 3 x^{2}) + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $12$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 12 \cdot 6}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $6$ .

$f'' (x) = \frac{- 36 x^{2} + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.3

Faktorisiere $36$ aus $- 36 x^{2} + 72$ heraus.

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Schritt 2.17.3.1

Faktorisiere $36$ aus $- 36 x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 72}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.3.2

Faktorisiere $36$ aus $72$ heraus.

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2}) + 36 (2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.3.3

Faktorisiere $36$ aus $36 (- x^{2}) + 36 (2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{36 (- x^{2} + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) + 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.5

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2}) - 1 \cdot - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 2)$ heraus.

$f'' (x) = \frac{36 (- (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.7

Schreibe $- (x^{2} - 2)$ als $- 1 (x^{2} - 2)$ um.

$f'' (x) = \frac{36 (- 1 (x^{2} - 2))}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 2.17.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{36 (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 2}{{(x^{2} + 6)}^{3}}$

Schritt 3.2

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 6)}^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 2) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 2)) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x + 0) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{3} (2 x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.3.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + 6)}^{3}$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 \cdot ({(x^{2} + 6)}^{3} x) - (x^{2} - 2) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 6)}^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} + 6$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 6$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - (x^{2} - 2) (3 {(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 6)}^{2}$ aus $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ heraus.

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Schritt 3.5.2.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 6)}^{2}$ aus $2 {(x^{2} + 6)}^{3} x$ heraus.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) - 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.5.2.2

Faktorisiere ${(x^{2} + 6)}^{2}$ aus $- 3 (x^{2} - 2) ({(x^{2} + 6)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6])$ heraus.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.5.2.3

Faktorisiere ${(x^{2} + 6)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x) + {(x^{2} + 6)}^{2} (- 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 6]))$ heraus.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{6}}$

Schritt 3.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere ${(x^{2} + 6)}^{2}$ aus ${(x^{2} + 6)}^{6}$ heraus.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f''' (x) = - 36 \frac{{(x^{2} + 6)}^{2} (2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6)))}{{(x^{2} + 6)}^{2} {(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.9

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 3 (x^{2} - 2) (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f''' (x) = - 36 \frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.10.3

Kombiniere $- 36$ und $\frac{2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{- 36 (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.10.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{(36) (2 (x^{2} + 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - \frac{36 ((2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 (x^{2} - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) + (- 6 x^{2} - 6 \cdot - 2) x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x + 2 \cdot (6 x) - 6 x^{2} x - 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{2} x) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.11.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.11.6.1.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.6.1.1.1

Bewege $x$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.11.6.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 (x \cdot x^{2})) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{1 + 2}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f''' (x) = - \frac{36 (2 x^{3}) + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (2 \cdot (6 x)) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 36 (12 x) + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{2} x) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.11.6.1.5.1

Bewege $x$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.11.6.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 (x \cdot x^{2})) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{1 + 2}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x + 36 (- 6 x^{3}) + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (- 6 \cdot (- 2 x))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.7

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 2$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 36 (12 x)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.1.8

Mutltipliziere $12$ mit $36$ .

$f''' (x) = - \frac{72 x^{3} + 432 x - 216 x^{3} + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.2

Subtrahiere $216 x^{3}$ von $72 x^{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 432 x + 432 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.6.3

Addiere $432 x$ und $432 x$ .

$f''' (x) = - \frac{- 144 x^{3} + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.7

Faktorisiere $144 x$ aus $- 144 x^{3} + 864 x$ heraus.

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Schritt 3.11.7.1

Faktorisiere $144 x$ aus $- 144 x^{3}$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 864 x}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.7.2

Faktorisiere $144 x$ aus $864 x$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2}) + 144 x (6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.7.3

Faktorisiere $144 x$ aus $144 x (- x^{2}) + 144 x (6)$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{144 x (- x^{2} + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) + 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.9

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 6)$ heraus.

$f''' (x) = - \frac{144 x (- (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.11

Schreibe $- (x^{2} - 6)$ als $- 1 (x^{2} - 6)$ um.

$f''' (x) = - \frac{144 x (- 1 (x^{2} - 6))}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$

Schritt 3.11.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f''' (x) = 1 (\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}})$

Schritt 3.11.14

Mutltipliziere $\frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$ mit $1$ .

$f''' (x) = \frac{(144 x) (x^{2} - 6)}{{(x^{2} + 6)}^{4}}$