Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{3 x}{2^{x}}$ , $x = 2$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 2$ .

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Schritt 1.1

Setze $2$ für $x$ ein.

$y = \frac{3 (2)}{2^{2}}$

Schritt 1.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{3 (2)}{2^{2}}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $2^{2}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $3 (2)$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 3}{2^{2}}$

Schritt 1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2}$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = \frac{3}{2}$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x}{2^{x}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{2^{x}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 2^{x}$ .

$3 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{{(2^{x})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 \frac{2^{x} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{2^{x} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2^{x}$ mit $1$ .

$3 \frac{2^{x} - x \frac{d}{d x} [2^{x}]}{2^{2 x}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$3 \frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $3$ und $\frac{2^{x} - x (2^{x} \ln (2))}{2^{2 x}}$ .

$\frac{3 (2^{x} - x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 2^{x} + 3 (- x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.6.2.1.1

Multipliziere $3 (- x (2^{x} \ln (2)))$ .

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Schritt 2.6.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot 2^{x} - 3 (x (2^{x} \ln (2)))}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.2.1.1.2

Vereinfache $- 3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{3 \cdot 2^{x} + x (2^{x} (- \ln (2^{3})))}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 \cdot 2^{x} - \ln (2^{3}) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 \cdot 2^{x} - \ln (8) x \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.2.2

Stelle die Faktoren in $3 \cdot 2^{x} - \ln (8) x \cdot 2^{x}$ um.

$\frac{3 \cdot 2^{x} - x \cdot 2^{x} \ln (8)}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2^{x} x \ln (8) + 3 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.4

Faktorisiere $2^{x}$ aus $- 2^{x} x \ln (8) + 3 \cdot 2^{x}$ heraus.

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Schritt 2.6.4.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $- 2^{x} x \ln (8)$ heraus.

$\frac{2^{x} (- x \ln (8)) + 3 \cdot 2^{x}}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.4.2

Faktorisiere $2^{x}$ aus $3 \cdot 2^{x}$ heraus.

$\frac{2^{x} (- x \ln (8)) + 2^{x} \cdot 3}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.4.3

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x} (- x \ln (8)) + 2^{x} \cdot 3$ heraus.

$\frac{2^{x} (- x \ln (8) + 3)}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2^{x}$ und $2^{2 x}$ .

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Schritt 2.6.5.1

Faktorisiere $2^{2 x}$ aus $2^{x} (- x \ln (8) + 3)$ heraus.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (8) + 3))}{2^{2 x}}$

Schritt 2.6.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.5.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (8) + 3))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 2.6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2^{2 x} (2^{- x} (- x \ln (8) + 3))}{2^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 2.6.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2^{- x} (- x \ln (8) + 3)}{1}$

Schritt 2.6.5.2.4

Dividiere $2^{- x} (- x \ln (8) + 3)$ durch $1$ .

$2^{- x} (- x \ln (8) + 3)$

Schritt 2.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2^{- x} (- x \ln (8)) + 2^{- x} \cdot 3$

Schritt 2.6.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \ln (8) \cdot 2^{- x} x + 2^{- x} \cdot 3$

Schritt 2.6.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2^{- x}$ .

$- \ln (8) \cdot 2^{- x} x + 3 \cdot 2^{- x}$

Schritt 2.6.9

Stelle die Faktoren in $- \ln (8) \cdot 2^{- x} x + 3 \cdot 2^{- x}$ um.

$- x \cdot 2^{- x} \ln (8) + 3 \cdot 2^{- x}$

Schritt 2.7

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$- 2 \cdot (2^{- (2)} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \cdot (2^{- 2} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \cdot (\frac{1}{2^{2}} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 2 \cdot (\frac{1}{4} \ln (8)) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache $\frac{1}{4} \ln (8)$ , indem du $\frac{1}{4}$ in den Logarithmus ziehst.

$- 2 \cdot \ln (8^{\frac{1}{4}}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.5

Vereinfache $- 2 \ln (8^{\frac{1}{4}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({(8^{\frac{1}{4}})}^{2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.6

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

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Schritt 2.8.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{4} \cdot 2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.8.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- \ln (8^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \ln (8^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot 2^{- (2)}$

Schritt 2.8.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot 2^{- 2}$

Schritt 2.8.8

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot \frac{1}{2^{2}}$

Schritt 2.8.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 3 \cdot \frac{1}{4}$

Schritt 2.8.10

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}$ und einen gegebenen Punkt $(2, \frac{3}{2})$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (\frac{3}{2}) = (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - (2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - \frac{3}{2} = (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $(- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - \frac{3}{2} = 0 + 0 + (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - \frac{3}{2} = (- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) \cdot (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Multipliziere $(- \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4}) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) (x - 2) + \frac{3}{4} (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x - \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + \frac{3}{4} (x - 2)$

Schritt 3.3.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x - \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2 + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.4.1.1

Multipliziere $- \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot - 2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + 2 \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.1.2

Vereinfache $2 \ln (8^{\frac{1}{2}})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln ({(8^{\frac{1}{2}})}^{2}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.4.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8^{1}) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.3

Berechne den Exponenten.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.4

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $x$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 (2)} \cdot - 2$

Schritt 3.3.1.4.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.4.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Schritt 3.3.1.4.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4.1.6

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 1}{2}$

Schritt 3.3.1.4.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} + \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.3.1.4.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - \frac{3}{2} = - \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.1.4.2

Stelle die Faktoren in $- \ln (8^{\frac{1}{2}}) x + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ um.

$y - \frac{3}{2} = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.2

Multipliziere jeden Term in $y - \frac{3}{2} = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ mit $4$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.2.1

Multipliziere jeden Term in $y - \frac{3}{2} = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) + \frac{3 x}{4} - \frac{3}{2}$ mit $4$ .

$y \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $y$ .

$4 \cdot y - \frac{3}{2} \cdot 4 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$4 y + \frac{- 3}{2} \cdot 4 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 y + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2)) = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 y - 3 \cdot 2 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 y - 6 = - x \ln (8^{\frac{1}{2}}) \cdot 4 + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + \ln (8) \cdot 4 + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (8)$ .

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \cdot \ln (8) + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + \frac{3 x}{4} \cdot 4 - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - \frac{3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x + \frac{- 3}{2} \cdot 4$

Schritt 3.3.2.3.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2))$

Schritt 3.3.2.3.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Schritt 3.3.2.3.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - 3 \cdot 2$

Schritt 3.3.2.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$4 y - 6 = - 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache $- 4 x \ln (8^{\frac{1}{2}}) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Vereinfache $- 4 \ln (8^{\frac{1}{2}})$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$4 y - 6 = x (- \ln ({(8^{\frac{1}{2}})}^{4})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(8^{\frac{1}{2}})}^{4}$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot 4})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.1.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot (2 (2))})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2)})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 y - 6 = x (- \ln (8^{2})) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.1.3

Potenziere $8$ mit $2$ .

$4 y - 6 = x (- \ln (64)) + 4 \ln (8) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.1.4

Vereinfache $4 \ln (8)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$4 y - 6 = x (- \ln (64)) + \ln (8^{4}) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.1.5

Potenziere $8$ mit $4$ .

$4 y - 6 = x (- \ln (64)) + \ln (4096) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.3.1.2

Stelle die Faktoren in $x (- \ln (64)) + \ln (4096) + 3 x - 6$ um.

$4 y - 6 = - x \ln (64) + \ln (4096) + 3 x - 6$

Schritt 3.3.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$x \ln (64) - \ln (4096) = - 4 y + 6 + 3 x - 6$

Schritt 3.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 y + 6 + 3 x - 6$ .

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Schritt 3.3.5.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$x \ln (64) - \ln (4096) = - 4 y + 3 x + 0$

Schritt 3.3.5.2

Addiere $- 4 y + 3 x$ und $0$ .

$x \ln (64) - \ln (4096) = - 4 y + 3 x$

Schritt 3.3.6

Schreibe die Gleichung als $- 4 y + 3 x = x \ln (64) - \ln (4096)$ um.

$- 4 y + 3 x = x \ln (64) - \ln (4096)$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 y = x \ln (64) - \ln (4096) - 3 x$

Schritt 3.3.8

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = x \ln (64) - \ln (4096) - 3 x$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 y = x \ln (64) - \ln (4096) - 3 x$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x \ln (64)}{- 4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 3.3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{x \ln (64)}{- 4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 3.3.8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x \ln (64)}{- 4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 3.3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.8.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{- \ln (4096)}{- 4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 3.3.8.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (4096)}{4} + \frac{- 3 x}{- 4}$

Schritt 3.3.8.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (4096)}{4} + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.9.1

Vereinfache $- \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (4096)}{4} + \frac{3 x}{4}$ .

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Schritt 3.3.9.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.9.1.1.1

Schreibe $\ln (4096)$ als $\ln (2^{12})$ um.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{\ln (2^{12})}{4} + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.2

Zerlege $\ln (2^{12})$ durch Herausziehen von $12$ aus dem Logarithmus.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{12 \ln (2)}{4} + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $4$ .

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Schritt 3.3.9.1.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12 \ln (2)$ heraus.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{4 (3 \ln (2))}{4} + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.9.1.1.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{4 (3 \ln (2))}{4 (1)} + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{4 (3 \ln (2))}{4 \cdot 1} + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{3 \ln (2)}{1} + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.3.2.4

Dividiere $3 \ln (2)$ durch $1$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + 3 \ln (2) + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.4

Vereinfache $3 \ln (2)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \ln (2^{3}) + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.1.5

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \ln (8) + \frac{3 x}{4}$

Schritt 3.3.9.1.2

Bewege $\ln (8)$ .

$y = - \frac{x \ln (64)}{4} + \frac{3 x}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{- x \ln (64) + 3 x}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.9.3.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (64) + 3 x$ heraus.

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Schritt 3.3.9.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- x \ln (64)$ heraus.

$y = \frac{x (- 1 \ln (64)) + 3 x}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$y = \frac{x (- 1 \ln (64)) + x \cdot 3}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (- 1 \ln (64)) + x \cdot 3$ heraus.

$y = \frac{x (- 1 \ln (64) + 3)}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.3.2

Schreibe $- 1 \ln (64)$ als $- \ln (64)$ um.

$y = \frac{x (- \ln (64) + 3)}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (64)$ heraus.

$y = \frac{x (- (\ln (64)) + 3)}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.5

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$y = \frac{x (- (\ln (64)) - 1 (- 3))}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (64)) - 1 (- 3)$ heraus.

$y = \frac{x (- (\ln (64) - 3))}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.7

Schreibe $- (\ln (64) - 3)$ als $- 1 (\ln (64) - 3)$ um.

$y = \frac{x (- 1 (\ln (64) - 3))}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x (\ln (64) - 3)}{4} + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.9

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{\ln (64) - 3}{4} x) + \ln (8)$

Schritt 3.3.9.10

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{\ln (64) - 3}{4} x + \ln (8)$

Schritt 4