Analysis Beispiele

$\frac{9 x^{2} + 25}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 9 x^{2} + 25$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 25] - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{2}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $9$ .

$\frac{x (18 x + \frac{d}{d x} [25]) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (18 x + 0) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Addiere $18 x$ und $0$ .

$\frac{x (18 x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{18 (x^{1} x^{1}) - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{18 x^{1 + 1} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{18 x^{2} - (9 x^{2}) - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.9.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.9.2.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{18 x^{2} - 9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2.2

Subtrahiere $9 x^{2}$ von $18 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.9.3.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.3.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{{(3 x)}^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x + 5 = 0$

$3 x - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $3 x + 5$ gleich $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Löse $3 x + 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 5$

Schritt 2.3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.3.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.3

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $3 x - 5$ gleich $0$ .

$3 x - 5 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Löse $3 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 5$

Schritt 2.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{3}$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x + 5) (3 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{5}{3}, \frac{5}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{(3 x + 5) (3 x - 5)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{9 x^{2} + 25}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{5}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{5}{3}$ .

$\frac{9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25}{- \frac{5}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(9 {(- \frac{5}{3})}^{2} + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{5}{3}$ an.

$(9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$(9 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$(9 (1 \frac{5^{2}}{3^{2}}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.1.2.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.2.6.2

Forme den Ausdruck um.

$(25 + 25) (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.3.1

Addiere $25$ und $25$ .

$50 (- \frac{3}{5})$

Schritt 4.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.2.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$50 (\frac{- 3}{5})$

Schritt 4.1.2.3.2.2

Faktorisiere $5$ aus $50$ heraus.

$5 (10) \frac{- 3}{5}$

Schritt 4.1.2.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 10 \frac{- 3}{5}$

Schritt 4.1.2.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$10 \cdot - 3$

Schritt 4.1.2.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 3$ .

$- 30$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{5}{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{3}$ .

$\frac{9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25}{\frac{5}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$(9 {(\frac{5}{3})}^{2} + 25) \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{5}{3}$ an.

$(9 \frac{5^{2}}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.2.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$(9 \frac{25}{3^{2}} + 25) \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 4.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(9 (\frac{25}{9}) + 25) \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$(25 + 25) \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.3.1

Addiere $25$ und $25$ .

$50 (\frac{3}{5})$

Schritt 4.2.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $50$ heraus.

$5 (10) \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 10 \frac{3}{5}$

Schritt 4.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$10 \cdot 3$

Schritt 4.2.2.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$30$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{9 {(0)}^{2} + 25}{0}$

Schritt 4.3.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{5}{3}, - 30), (\frac{5}{3}, 30)$

Schritt 5