Analysis Beispiele

$f (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{3} + 7$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 1.2.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2} + 0)$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.1

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$7 {(3 x^{3} + 7)}^{6} (9 x^{2})$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$63 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x^{2}$

Schritt 1.2.6.3

Stelle die Faktoren von $63 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x^{2}$ um.

$f' (x) = 63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $63$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $63 x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ nach $x$ gleich $63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$ .

$63 \frac{d}{d x} [x^{2} {(3 x^{3} + 7)}^{6}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(3 x^{3} + 7)}^{6}] + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = 3 x^{3} + 7$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$63 (x^{2} (6 u^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{3} + 7$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{3} + 7]) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4.5

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2} + 0)) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.6.1

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$63 (x^{2} (6 {(3 x^{3} + 7)}^{5} (9 x^{2})) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.4.6.2

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$63 (x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5} x^{2}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$63 (x^{2} x^{2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$63 (x^{2 + 2} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.5.3

Addiere $2$ und $2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + {(3 x^{3} + 7)}^{6} (2 x))$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(3 x^{3} + 7)}^{6}$ .

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5}) + 2 \cdot {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$63 (x^{4} (54 {(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $54$ mit $63$ .

$3402 (x^{4} ({(3 x^{3} + 7)}^{5})) + 63 (2 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere $2$ mit $63$ .

$3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 ({(3 x^{3} + 7)}^{6} x)$

Schritt 2.8.4

Faktorisiere $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ aus $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5} + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ heraus.

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Schritt 2.8.4.1

Faktorisiere $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ aus $3402 x^{4} {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ heraus.

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$

Schritt 2.8.4.2

Faktorisiere $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ aus $126 {(3 x^{3} + 7)}^{6} x$ heraus.

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$

Schritt 2.8.4.3

Faktorisiere $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5}$ aus $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3}) + 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{3} + 7)$ heraus.

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (27 x^{3} + 3 x^{3} + 7)$

Schritt 2.8.5

Addiere $27 x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$f'' (x) = 126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$ .

$126 x {(3 x^{3} + 7)}^{5} (30 x^{3} + 7)$