Analysis Beispiele

$\sum_{n = 1}^{4} 4 {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $n$ .

$4 {(\frac{1}{4})}^{1 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$4 {(\frac{1}{4})}^{0} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$4 \frac{1^{0}}{4^{0}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 \frac{1}{4^{0}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$4 (\frac{1}{1}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{1}{1}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$4 \cdot 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.7

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$4 + 4 {(\frac{1}{4})}^{1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

$4 + 4 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + 4 (\frac{1}{4}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.9.2

Forme den Ausdruck um.

$4 + 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{3 - 1} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.10

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$4 + 1 + 4 {(\frac{1}{4})}^{2} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.11

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$4 + 1 + 4 \frac{1^{2}}{4^{2}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4^{2}} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.13

Potenziere $4$ mit $2$ .

$4 + 1 + 4 (\frac{1}{16}) + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.14.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4 (4)} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + 1 + 4 \frac{1}{4 \cdot 4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.15

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 {(\frac{1}{4})}^{3}$

Schritt 2.1.16

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1^{3}}{4^{3}}$

Schritt 2.1.17

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4^{3}}$

Schritt 2.1.18

Potenziere $4$ mit $3$ .

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{64})$

Schritt 2.1.19

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.19.1

Faktorisiere $4$ aus $64$ heraus.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 (16)}$

Schritt 2.1.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + 4 \frac{1}{4 \cdot 16}$

Schritt 2.1.19.3

Forme den Ausdruck um.

$4 + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $4$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4}{1} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4}{1} \cdot \frac{16}{16} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{4}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.4

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{16}{16}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{1}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{4}{4 \cdot 4} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{4 \cdot 16}{16} + \frac{16}{16} + \frac{4}{16} + \frac{1}{16}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 16 + 16 + 4 + 1}{16}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$\frac{64 + 16 + 4 + 1}{16}$

Schritt 2.5

Addiere $64$ und $16$ .

$\frac{80 + 4 + 1}{16}$

Schritt 2.6

Addiere $80$ und $4$ .

$\frac{84 + 1}{16}$

Schritt 2.7

Addiere $84$ und $1$ .

$\frac{85}{16}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{85}{16}$

Dezimalform:

$5.3125$

Darstellung als gemischte Zahl:

$5 \frac{5}{16}$