Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{\infty} 4^{- k}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{k}$ und $a_{k + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{4^{- (k + 1)}}{4^{- k}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{- (k + 1)}$ und $4^{- k}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $4^{- k}$ aus $4^{- (k + 1)}$ heraus.

$r = \frac{4^{- k} \cdot 4^{- (k + 1) + k}}{4^{- k}}$

Schritt 2.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{4^{- k} \cdot 4^{- (k + 1) + k}}{4^{- k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{4^{- k} \cdot 4^{- (k + 1) + k}}{4^{- k} \cdot 1}$

Schritt 2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{4^{- (k + 1) + k}}{1}$

Schritt 2.2.1.2.4

Dividiere $4^{- (k + 1) + k}$ durch $1$ .

$r = 4^{- (k + 1) + k}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 4^{- k - 1 \cdot 1 + k}$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = 4^{- k - 1 + k}$

Schritt 2.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- k - 1 + k$ .

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Schritt 2.2.3.1

Addiere $- k$ und $k$ .

$r = 4^{0 - 1}$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = 4^{- 1}$

Schritt 2.2.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{4}$

Schritt 3

Da $| r | < 1$ , konvergiert die Reihe.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $k$ in $4^{- k}$ ein.

$a = 4^{- 1}$

Schritt 4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$a = \frac{1}{4}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{4 - 1}{4}}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\frac{3}{4}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{4} (1 (\frac{4}{3}))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{3}$

Dezimalform:

$0.\overline{3}$