Analysis Beispiele

$\sum_{k = 1}^{30} (\frac{7}{30} k + 5) \frac{7}{30}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{7}{30}$ und $k$ .

$(\frac{7 k}{30} + 5) \frac{7}{30}$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30} + 5 (\frac{7}{30})$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{7 k}{30} \cdot \frac{7}{30}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{7 k}{30}$ mit $\frac{7}{30}$ .

$\frac{7 k \cdot 7}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$\frac{49 k}{30 \cdot 30} + 5 (\frac{7}{30})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $30$ mit $30$ .

$\frac{49 k}{900} + 5 (\frac{7}{30})$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $30$ heraus.

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 (6)}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{49 k}{900} + 5 \frac{7}{5 \cdot 6}$

Schritt 1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

Schritt 1.5

Schreibe die Summe um.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6}$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \frac{7}{6} = \sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900} + \sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{30} \frac{49 k}{900}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $\frac{49}{900}$ aus der Summe raus.

$(\frac{49}{900}) \sum_{k = 1}^{30} k$

Schritt 3.2

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(\frac{49}{900}) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1.1

Addiere $30$ und $1$ .

$\frac{49}{900} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $30$ mit $31$ .

$\frac{49}{900} \cdot \frac{930}{2}$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $30$ .

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Schritt 3.4.2.1

Faktorisiere $30$ aus $900$ heraus.

$\frac{49}{30 (30)} \cdot \frac{930}{2}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $30$ aus $930$ heraus.

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{49}{30 \cdot 30} \cdot \frac{30 \cdot 31}{2}$

Schritt 3.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{49}{30} \cdot \frac{31}{2}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $\frac{49}{30}$ mit $\frac{31}{2}$ .

$\frac{49 \cdot 31}{30 \cdot 2}$

Schritt 3.4.4

Multipliziere.

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Schritt 3.4.4.1

Mutltipliziere $49$ mit $31$ .

$\frac{1519}{30 \cdot 2}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $30$ mit $2$ .

$\frac{1519}{60}$

Schritt 4

Berechne $\sum_{k = 1}^{30} \frac{7}{6}$ .

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Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{7}{6}) (30)$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 4.3.1.1

Faktorisiere $6$ aus $30$ heraus.

$\frac{7}{6} (6 (5))$

Schritt 4.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{6} (6 \cdot 5)$

Schritt 4.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$7 \cdot 5$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $7$ mit $5$ .

$35$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$\frac{1519}{60} + 35$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Um $35$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{60}{60}$ .

$\frac{1519}{60} + 35 \cdot \frac{60}{60}$

Schritt 6.2

Kombiniere $35$ und $\frac{60}{60}$ .

$\frac{1519}{60} + \frac{35 \cdot 60}{60}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1519 + 35 \cdot 60}{60}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $35$ mit $60$ .

$\frac{1519 + 2100}{60}$

Schritt 6.4.2

Addiere $1519$ und $2100$ .

$\frac{3619}{60}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{3619}{60}$

Dezimalform:

$60.31\overline{6}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$60 \frac{19}{60}$