Analysis Beispiele

$\cot (y) = x - y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\cot (y)) = \frac{d}{d y} (x - y)$

Schritt 2

Die Ableitung von $\cot (y)$ nach $y$ ist $- \csc^{2} (y)$ .

$- \csc^{2} (y)$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x' - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x' - 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x' - 1$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \csc^{2} (y) = x' - 1$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $x' - 1 = - \csc^{2} (y)$ um.

$x' - 1 = - \csc^{2} (y)$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x' = - \csc^{2} (y) + 1$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (y)$ heraus.

$x' = - (\csc^{2} (y)) + 1$

Schritt 5.2.3

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$x' = - \csc^{2} (y) - 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \csc^{2} (y) - 1 \cdot - 1$ heraus.

$x' = - (\csc^{2} (y) - 1)$

Schritt 5.2.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$x' = - \cot^{2} (y)$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \cot^{2} (y)$