Analysis Beispiele

$x^{2} \sin (\frac{1}{x}) = 2 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \sin (\frac{1}{x})) = \frac{d}{d x} (2 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $x^{- 2}$ .

$x^{- 2} x^{2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{- 2 + 2} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.3

Addiere $- 2$ und $2$ .

$x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache $x^{0} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1))$ .

$\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\cos (\frac{1}{x})$ .

$- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5.3

Schreibe $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ als $- \cos (\frac{1}{x})$ um.

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \cos (\frac{1}{x}) + \sin (\frac{1}{x}) (2 x)$

Schritt 2.7

Stelle die Terme um.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x y' + y \cdot 1)$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 (x y' + y)$

Schritt 3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x y' + 2 y$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) = 2 x y' + 2 y$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x y' + 2 y = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$ um.

$2 x y' + 2 y = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x})$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x y' = 2 x \sin (\frac{1}{x}) - \cos (\frac{1}{x}) - 2 y$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x y'}{2 x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x y'}{2 x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y'}{x} = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 x \sin (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x \sin (\frac{1}{x})}{x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x \sin (\frac{1}{x})}{x} + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Dividiere $\sin (\frac{1}{x})$ durch $1$ .

$y' = \sin (\frac{1}{x}) + \frac{- \cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- 2 y}{2 x}$

Schritt 5.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 x}$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 (x)}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{2 (- y)}{2 x}$

Schritt 5.3.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} + \frac{- y}{x}$

Schritt 5.3.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} - \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sin (\frac{1}{x}) - \frac{\cos (\frac{1}{x})}{2 x} - \frac{y}{x}$