Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x \sin (x)}{2 + \cos (x)}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x \sin (x)}{2 + \cos (x)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x \sin (x)$ und $g (x) = 2 + \cos (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [2 + \cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Multipliziere.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.9

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11

Addiere $1$ und $1$ .

$3 \frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.12

Kombiniere $3$ und $\frac{(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13

Vereinfache.

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Schritt 3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 ((2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.13.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.13.2.1.1

Multipliziere $(2 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.13.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x))) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.2

Multipliziere $\cos (x) (x \cos (x))$ .

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Schritt 3.13.2.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 (2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.13.2.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 (x \cos (x)) + 3 (2 \sin (x)) + 3 (x \cos^{2} (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 (x \cos (x)) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 (x \sin^{2} (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x \sin^{2} (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.2

Bewege $3 x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cos^{2} (x) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.3

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x \sin^{2} (x) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.4

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.5

Faktorisiere $3 x$ aus $3 x (\cos^{2} (x)) + 3 x (\sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.6

Ordne Terme um.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x \cdot 1 + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{6 x \cos (x) + 6 \sin (x) + 3 x + 3 \cos (x) \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.3

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.4

Faktorisiere $3$ aus $6 x \cos (x) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 3.13.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x \cos (x)$ heraus.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 \cos (x) \sin (x) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.4.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cos (x) \sin (x)$ heraus.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 x + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.4.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 6 \sin (x)}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.4.4

Faktorisiere $3$ aus $6 \sin (x)$ heraus.

$\frac{3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.4.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x \cos (x)) + 3 (\cos (x) \sin (x))$ heraus.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.4.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) + 3 (x)$ heraus.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.13.4.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x) + 3 (2 \sin (x))$ heraus.

$\frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (2 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 2 \sin (x))}{{(2 + \cos (x))}^{2}}$