Analysis Beispiele

$y \cos (\frac{1}{y}) = 9 x + 9 y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y \cos (\frac{1}{y})) = \frac{d}{d x} (9 x + 9 y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \cos (\frac{1}{y})$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (\frac{1}{y})] + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \frac{1}{y}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{y}$ .

$y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$y (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{y}$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{y}]) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = y$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{y \cdot 0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{0 - \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.3.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [y]$ von $0$ .

$y (- \sin (\frac{1}{y}) \frac{- \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y (- \sin (\frac{1}{y}) (- \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}})) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y (1 \sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.4.3.5

Mutltipliziere $\sin (\frac{1}{y})$ mit $1$ .

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{\frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (\sin (\frac{1}{y}) \frac{y'}{y^{2}}) + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.6

Kombiniere $\sin (\frac{1}{y})$ und $\frac{y'}{y^{2}}$ .

$y \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.7

Kombiniere $y$ und $\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y^{2}}$ .

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y^{2}} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.8

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (\sin (\frac{1}{y}) y')}{y \cdot y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.9

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} + \cos (\frac{1}{y}) y'$

Schritt 2.10

Stelle die Terme um.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y}$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x + 9 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9 y]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [9 y]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [9 y]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 y$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$9 + 9 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$9 + 9 y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$9 y' + 9$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y, 1, 1$

Schritt 5.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $\cos (\frac{1}{y}) y' + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} = 9 y' + 9$ mit $y$ .

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \frac{\sin (\frac{1}{y}) y'}{y} y = 9 y' y + 9 y$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y' = 9 y' y + 9 y$

Schritt 5.2.2.2

Stelle die Faktoren in $\cos (\frac{1}{y}) y' y + \sin (\frac{1}{y}) y'$ um.

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) = 9 y' y + 9 y$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $9 y' y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y = 9 y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' y \cos (\frac{1}{y}) + y' \sin (\frac{1}{y}) - 9 y' y$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' y \cos (\frac{1}{y})$ heraus.

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $y' \sin (\frac{1}{y})$ heraus.

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) - 9 y' y = 9 y$

Schritt 5.3.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 9 y' y$ heraus.

$y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Schritt 5.3.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y \cos (\frac{1}{y})) + y' (\sin (\frac{1}{y}))$ heraus.

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y) = 9 y$

Schritt 5.3.2.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y})) + y' (- 9 y)$ heraus.

$y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$

Schritt 5.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ durch $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y) = 9 y$ durch $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y$ .

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Schritt 5.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y)}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Schritt 5.3.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{9 y}{y \cos (\frac{1}{y}) + \sin (\frac{1}{y}) - 9 y}$