Analysis Beispiele

$y = \frac{x - 7}{\sqrt{x} - \sqrt{7}}$

Schritt 1

Schreibe die rechte Seite mit rationalen Exponenten neu.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}} - \sqrt{7}}$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 7}{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 7$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere.

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Schritt 4.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}) (1 + 0) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.7.3

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 7^{\frac{1}{2}}])}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.8

Da $- 7^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7^{\frac{1}{2}}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.9

Addiere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - (x - 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

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Schritt 4.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} + (- x - - 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.10.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.10.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.10.3.1.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.10.3.1.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.1.5

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.2

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.3

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.5

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

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Schritt 4.10.3.5.1

Stelle $x^{\frac{1}{2}}$ und $2$ um.

$\frac{\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.3.5.2

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $2 \cdot x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.10.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.2

Kombinieren.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 7^{\frac{1}{2}} + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.10.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 4.10.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.5

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.10.4.5.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.5.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.5.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{x^{1} + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.6

Vereinfache $x^{1}$ .

$\frac{x + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.10.4.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2 x^{\frac{1}{2}} (- 7^{\frac{1}{2}}) + 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.4.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x - 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{2}} + 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x + 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + x + 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.7

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x) + 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x) + 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.9

Schreibe $7$ als $- 1 (- 7)$ um.

$\frac{- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 7)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 7)$ heraus.

$\frac{- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 7)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.11

Schreibe $- (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 7)$ als $- 1 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 7)$ um.

$\frac{- 1 (2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 7)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.10.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 \cdot 7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 \cdot (7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \cdot (7^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} - 7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$