Analysis Beispiele

$y = \frac{8 x + 7}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{8 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 8 x + 7$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x + 7] - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.5

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + \frac{d}{d x} [7]) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.8

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (8 + 0) - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.9.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 8 - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.9.2

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Schritt 4.11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Schritt 4.12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Schritt 4.14.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Schritt 4.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Schritt 4.16

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Schritt 4.17

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x + 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18

Vereinfache.

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Schritt 4.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + (- (8 x) - 1 \cdot 7) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - (8 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.18.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.18.3.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 8 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.18.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8 x$ heraus.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}})} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- 4 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x \cdot - 4 x^{- \frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.18.3.1.6.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.6.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.18.3.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.6.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot - 4 - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.7

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - 7 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.9

Kombiniere $- 7$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{8 x^{\frac{1}{2}} - 4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.3.2

Subtrahiere $4 x^{\frac{1}{2}}$ von $8 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.18.4.1

Um $4 x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.2

Kombiniere $4 x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2}} (2 x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.18.4.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.18.4.4.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{1 + 1}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{\frac{2}{2}} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4.2.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x^{1} - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4.3

Vereinfache $4 \cdot 2 x^{1}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 2 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.4.4.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Schritt 4.18.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 4.18.6

Multipliziere $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.18.6.1

Mutltipliziere $\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.18.6.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 4.18.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.6.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Schritt 4.18.6.6

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x - 7}{2 x^{\frac{3}{2}}}$