Analysis Beispiele

$y = \sqrt[4]{\frac{4 x}{6 x - 5}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{\frac{4 x}{6 x - 5}}$ als ${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1}{4}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1}{4}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ und $g (x) = \frac{4 x}{6 x - 5}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{4 x}{6 x - 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{4 x}{6 x - 5}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{4 x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x}{6 x - 5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 x - 5}]$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} (4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 x - 5}])$

Schritt 4.6.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.6.3.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.6.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{4} {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.6.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 {(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.6.3.3

Mutltipliziere ${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}}$ mit $1$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6 x - 5}]$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 6 x - 5$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{(6 x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [6 x - 5]}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8

Differenziere.

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Schritt 4.8.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{(6 x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [6 x - 5]}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.2

Mutltipliziere $6 x - 5$ mit $1$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - x \frac{d}{d x} [6 x - 5]}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.4

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.6

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - x (6 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - x (6 + 0)}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.8.8.1

Addiere $6$ und $0$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - x \cdot 6}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{6 x - 5 - 6 x}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.8.3

Subtrahiere $6 x$ von $6 x$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{0 - 5}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.8.8.4.1

Subtrahiere $5$ von $0$ .

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} \frac{- 5}{{(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.8.8.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

${(\frac{4 x}{6 x - 5})}^{- \frac{3}{4}} (- \frac{5}{{(6 x - 5)}^{2}})$

Schritt 4.9

Vereinfache.

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Schritt 4.9.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

${(\frac{6 x - 5}{4 x})}^{\frac{3}{4}} (- \frac{5}{{(6 x - 5)}^{2}})$

Schritt 4.9.2

Wende die Produktregel auf $\frac{6 x - 5}{4 x}$ an.

$\frac{{(6 x - 5)}^{\frac{3}{4}}}{{(4 x)}^{\frac{3}{4}}} (- \frac{5}{{(6 x - 5)}^{2}})$

Schritt 4.9.3

Wende die Produktregel auf $4 x$ an.

$\frac{{(6 x - 5)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}}} (- \frac{5}{{(6 x - 5)}^{2}})$

Schritt 4.9.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.9.4.1

Mutltipliziere $\frac{{(6 x - 5)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}}}$ mit $\frac{5}{{(6 x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{{(6 x - 5)}^{\frac{3}{4}} \cdot 5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.9.4.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(6 x - 5)}^{\frac{3}{4}}$ .

$- \frac{5 \cdot {(6 x - 5)}^{\frac{3}{4}}}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{2}}$

Schritt 4.9.4.3

Bringe ${(6 x - 5)}^{\frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{2} {(6 x - 5)}^{- \frac{3}{4}}}$

Schritt 4.9.4.4

Multipliziere ${(6 x - 5)}^{2}$ mit ${(6 x - 5)}^{- \frac{3}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.9.4.4.1

Bewege ${(6 x - 5)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} ({(6 x - 5)}^{- \frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{2})}$

Schritt 4.9.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{- \frac{3}{4} + 2}}$

Schritt 4.9.4.4.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{- \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}}}$

Schritt 4.9.4.4.4

Kombiniere $2$ und $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{- \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}}}$

Schritt 4.9.4.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{\frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4}}}$

Schritt 4.9.4.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.4.4.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{\frac{- 3 + 8}{4}}}$

Schritt 4.9.4.4.6.2

Addiere $- 3$ und $8$ .

$- \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{4^{\frac{3}{4}} x^{\frac{3}{4}} {(6 x - 5)}^{\frac{5}{4}}}$