Analysis Beispiele

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j (j + 3)$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 j \cdot j + 2 j \cdot 3$

Schritt 1.2

Multipliziere $j$ mit $j$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Bewege $j$ .

$2 (j \cdot j) + 2 j \cdot 3$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $j$ mit $j$ .

$2 j^{2} + 2 j \cdot 3$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 j^{2} + 6 j$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j^{2} + 6 j$

Schritt 2

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{j = 1}^{200} 2 j^{2} + 6 j = 2 \sum_{j = 1}^{200} j^{2} + 6 \sum_{j = 1}^{200} j$

Schritt 3

Berechne $2 \sum_{j = 1}^{200} j^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(2) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Schritt 3.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Addiere $200$ und $1$ .

$2 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $200$ mit $201$ .

$2 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $200$ .

$2 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $400$ und $1$ .

$2 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $40200$ mit $401$ .

$2 (\frac{16120200}{6})$

Schritt 3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \frac{16120200}{2 (3)}$

Schritt 3.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16120200}{3}$

Schritt 3.3.2.3

Dividiere $16120200$ durch $3$ .

$5373400$

Schritt 4

Berechne $6 \sum_{j = 1}^{200} j$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 4.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(6) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Schritt 4.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Addiere $200$ und $1$ .

$6 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $200$ mit $201$ .

$6 (\frac{40200}{2})$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{40200}{2}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{40200}{2}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 \cdot 40200$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $40200$ .

$120600$

Schritt 5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$5373400 + 120600$

Schritt 6

Addiere $5373400$ und $120600$ .

$5494000$