Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(\frac{4}{7})}^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i + 1}}{{(\frac{4}{7})}^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(\frac{4}{7})}^{i + 1}$ und ${(\frac{4}{7})}^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${(\frac{4}{7})}^{i}$ aus ${(\frac{4}{7})}^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(\frac{4}{7})}^{i} \frac{4}{7}}{{(\frac{4}{7})}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{\frac{4}{7}}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $\frac{4}{7}$ durch $1$ .

$r = \frac{4}{7}$

Schritt 3

Da $| r | < 1$ , konvergiert die Reihe.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $i$ in ${(\frac{4}{7})}^{i}$ ein.

$a = {(\frac{4}{7})}^{1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$a = \frac{4}{7}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{\frac{4}{7}}{1 - \frac{4}{7}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{7}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7}{7} - \frac{4}{7}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{7 - 4}{7}}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $4$ von $7$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{1}{\frac{3}{7}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{4}{7} (1 (\frac{7}{3}))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{7}{3}$ mit $1$ .

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{1}{3})$

Schritt 6.6

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{4}{3}$

Dezimalform:

$1.\overline{3}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{1}{3}$