Analysis Beispiele

$f (x) = {(x - 7)}^{3}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 7$ .

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Schritt 1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 7]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

Schritt 1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$3 {(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 7]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7])$

Schritt 1.2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} (1 + 0)$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} \cdot 1$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(x - 7)}^{2}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Schreibe ${(x - 7)}^{2}$ als $(x - 7) (x - 7)$ um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 ((x - 7) (x - 7)))$

Schritt 2.2

Multipliziere $(x - 7) (x - 7)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x (x - 7) - 7 (x - 7)))$

Schritt 2.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 (x - 7)))$

Schritt 2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x \cdot x + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7))$

Schritt 2.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} + x \cdot - 7 - 7 x - 7 \cdot - 7))$

Schritt 2.3.1.2

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 7 \cdot x - 7 x - 7 \cdot - 7))$

Schritt 2.3.1.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 7 x - 7 x + 49))$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $7 x$ von $- 7 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 (x^{2} - 14 x + 49))$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 (x^{2} - 14 x + 49)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2} - 14 x + 49]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} - 14 x + 49)$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 14 x + 49$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (49))$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (49))$

Schritt 2.7

Da $- 14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 14 x$ nach $x$ gleich $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (49))$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (49))$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 14$ mit $1$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 14 + \frac{d}{d x} (49))$

Schritt 2.10

Da $49$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $49$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 14 + 0)$

Schritt 2.11

Addiere $2 x - 14$ und $0$ .

$f'' (x) = 3 (2 x - 14)$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = 3 (2 x) + 3 \cdot - 14$

Schritt 2.12.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.12.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f'' (x) = 6 x + 3 \cdot - 14$

Schritt 2.12.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 14$ .

$f'' (x) = 6 x - 42$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$3 {(x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x - 7$ .

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Schritt 4.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 7)$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 7)$

Schritt 4.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 7$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 7)$

Schritt 4.1.2

Differenziere.

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Schritt 4.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 7))$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 7))$

Schritt 4.1.2.3

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2} (1 + 0)$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 7)}^{2}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 {(x - 7)}^{2}$ .

$3 {(x - 7)}^{2}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 {(x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 {(x - 7)}^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 {(x - 7)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere ${(x - 7)}^{2}$ durch $1$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Schritt 5.3

Setze $x - 7$ gleich $0$ .

$x - 7 = 0$

Schritt 5.4

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 7$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 7$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 7$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$6 (7) - 42$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$42 - 42$

Schritt 9.2

Subtrahiere $42$ von $42$ .

$0$

Schritt 10

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 10.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

Schritt 10.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $0$ , aus dem Intervall $(- \infty, 7)$ in die erste Ableitung $3 {(x - 7)}^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f' (0) = 3 {((0) - 7)}^{2}$

Schritt 10.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.2.2.1

Subtrahiere $7$ von $0$ .

$f' (0) = 3 {(- 7)}^{2}$

Schritt 10.2.2.2

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$f' (0) = 3 \cdot 49$

Schritt 10.2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $49$ .

$f' (0) = 147$

Schritt 10.2.2.4

Die endgültige Lösung ist $147$ .

$147$

Schritt 10.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $10$ , aus dem Intervall $(7, \infty)$ in die erste Ableitung $3 {(x - 7)}^{2}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 10.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $10$ .

$f' (10) = 3 {((10) - 7)}^{2}$

Schritt 10.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 10.3.2.1

Subtrahiere $7$ von $10$ .

$f' (10) = 3 \cdot 3^{2}$

Schritt 10.3.2.2

Multipliziere $3$ mit $3^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.3.2.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $3^{2}$ .

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Schritt 10.3.2.2.1.1

Potenziere $3$ mit $1$ .

$f' (10) = 3 \cdot 3^{2}$

Schritt 10.3.2.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (10) = 3^{1 + 2}$

Schritt 10.3.2.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (10) = 3^{3}$

Schritt 10.3.2.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$f' (10) = 27$

Schritt 10.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $27$ .

$27$

Schritt 10.4

Da die erste Ableitung das Vorzeichen um $x = 7$ nicht gewechselt hat, ist dies kein lokales Maximum oder Minimum.

Kein lokales Maximum oder Minimum

Schritt 10.5

Keine lokalen Maxima oder Minima für $f (x) = {(x - 7)}^{3}$ gefunden.

Keine lokalen Maxima oder Minima

Schritt 11