Analysis Beispiele

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{3}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.9

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10

Vereinfache.

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Schritt 1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.10.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.2

Bringe $x^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.10.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.10.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.4

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.5

Um $x^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.6

Kombiniere $x^{\frac{1}{3}}$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.10.2.9

Addiere $3 x^{\frac{1}{3}}$ und $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.2.11

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ nach $x$ gleich $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ als ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ um.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2

Multipliziere $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Schritt 2.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Schritt 2.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Schritt 2.3.9.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Schritt 2.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.12

Kombiniere $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ und $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{3}}$ mit $x^{- \frac{4}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.13.1

Bewege $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Schritt 2.3.13.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.4

Subtrahiere $1$ von $- 4$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.13.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Schritt 2.3.14

Bringe $x^{- \frac{5}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $\frac{4}{3}$ mit $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 2.3.16

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Schritt 2.3.17

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$